Wie man einen gierigen Algorithmus benutzt, um die nicht abnehmende Sequenz zu finden, die der gegebenen am nächsten ist?

Sie erhalten n ganze Zahlen alle zwischen und . Unter jedem ganzzahligen sollten Sie eine ganze Zahl schreiben zwischen und mit der Anforderung , dass die ‚s eine nicht abnehmende Folge bilden. Definieren Sie die Abweichung einer solchen Folge als . Entwerfen Sie einen Algorithmus, der die mit der minimalen Abweichung in Laufzeit O findet (n \ sqrt [4] {l}) .$a_1, \ldots, a_n$$0$$l$$a_i$$b_i$$0$$l$$b_i$$\max(|a_1-b_1|, \ldots, |a_n-b_n|)$$b_i$$O(n\sqrt[4]{l})$

Ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung, wie ich überhaupt anfangen soll, diese Frage zu lösen. Es sieht für mich wie eine dynamische Programmierfrage aus, aber der Professor sagte, dass dies mit einem gierigen Algorithmus gelöst werden sollte. Es wäre sehr dankbar, wenn mich jemand mit einem kleinen Hinweis in die richtige Richtung weisen könnte.

Beginnen wir mit folgender Beobachtung:

Sei $max$ das Maximum der Folge $a_1,...,a_n$ und sei $min$ das Minimum. Wenn $a_1=max$ , ist die Auswahl von $b_1=b_2=...=b_n=\lfloor(max+min)/2\rfloor$ optimal.

Warum ist das so? Nun, da die Sequenz mit dem Maximum beginnt, wählen wir entweder $b_1$ groß und erleiden eine große Abweichung vom Minimum der Sequenz (da jedes nachfolgende $b_i$ größer oder gleich $b_1$ ), oder wir wählen $b_1$ klein und leiden unter Abweichung bis $max$ . Der Durchschnitt minimiert die maximale Abweichung.

Wir können nun versuchen, diese Beobachtung auf die allgemeinen Folgen a_1, ..., a_n zu verallgemeinern $a_1,...,a_n$. Zum Beispiel können wir jede Sequenz in Teilsequenzen aufteilen, so dass jede mit dem Maximum der jeweiligen Teilsequenz beginnt.

Beispiel: wird in , und .( 2 ) ( 6 , 4 , 1 , 5 , 2 ) ( 8 , 7 , 5 , 1 $(2,6,4,1,5,2,8,7,5,1)$$(2)$$(6,4,1,5,2)$$(8,7,5,1)$

Angesichts dieser Aufteilung können wir nun jede dieser Teilsequenzen separat lösen und eine Zuweisung der , was jedoch die nicht abnehmende Bedingung verletzen könnte. Dies kann behoben werden, ohne an Optimalität zu verlieren.$b_i$

Beachten Sie, dass die letzte Teilfolge des maximalen enthält immer der gesamten Sequenz (sonst gäbe es eine andere Teilfolge danach). Sei die Werte, die wir den zugewiesen haben . Um nun in eine Nichtverringerung zu erreichen wir bei von hinten und arbeiten uns nach vorne vor. Wenn größer als , setzen wir einfach . Wenn es kleiner ist, behalten wir es. Dann vergleichen wir mit und so weiter. Beachten Sie, dass Sie jedes auf den Wert von senken.w 1 , w 2 , . . . , W k k w 1 , . . . , W k w k w k - 1 w k w k - 1 : = w k w k - 2 w k - 1 w i w i + 1 w i w i + $max$$w_1,w_2,...,w_k$$k$$w_1,...,w_k$$w_k$$w_{k-1}$$w_k$$w_{k-1}:=w_k$$w_{k-2}$$w_{k-1}$$w_i$$w_{i+1}$Erhöht niemals die Abweichung, da der Maximalwert in der mit zugewiesenen immer niedriger ist als der Maximalwert in der mit zugewiesenen Teilfolge .$w_i$$w_{i+1}$

Dieser Algorithmus sollte meiner Meinung nach korrekt sein. In Bezug auf die Laufzeit besteht der Schlüsselschritt darin, die ansteigenden Maxima für die Teilfolgen zu berechnen, was in . Ich bin mir nicht sicher, wo beitrage.$O(n)$$l$

Ich werde hier laut nachdenken und nur die von Ihnen gegebenen Hinweise durcharbeiten. Gehen wir zum ursprünglichen Hinweis, dass ist, was Sie zuerst versuchen sollten. Ich kann mir einen gierigen Algorithmus vorstellen, der diese Zeit hat.$O(nl)$

Der Teil der Zeit Komplexität bedeutet , dass Sie eine Liste der Zählung jedes Auftreten von jedem Wert halten kann . Das heißt, erstellen Sie einfach eine Menge die die Anzahl der einzelnen in der Menge verfolgt. Sie können die Initalisierungsliste erstellen, indem Sie die Eingabesequenz einmal scannen.0 .. l Count = C 0 , … , C l$l$$0..l$$\text{Count} = { C_0, \ldots, C_l}$$l$

Sie können diese Liste in scannen , um den Maximal- und Minimalwert zu erhalten. Wenn Sie die gesamte Liste von mit diesem Mittelpunkt füllen würden, wäre Ihre Varianz einfach die Differenz zwischen diesem Wert und dem max / min-Wert. Dies ist im Grunde Ihr Worst-Case-Szenario, nennen wir es .b b $O(l)$$b$$b_w$

Arbeiten Sie sich also von links nach vor. Sie können dieses Element aus löschen und die min / max von in . Jetzt können wir gierig sein. Wir wählen nicht da dies die verbleibende gesamte Liste nach oben zwingt (um die nicht abnehmende Anforderung zu erfüllen) und somit die Varianz erhöht. Der Mindestwert, den wir wählen können, ist . Wenn im akzeptablen Bereich liegt, wählen wir ihn aus, wenn er unter dem Bereich liegt, verwenden Sie das Minimum. Dies minimiert die Varianz bei bei bekannten Einschränkungen. Zähle b [ i + 1 ] … b [ n ] O ( l ) b i > b w b [ i - 1 ] a i b $b_i$$\text{Count}$$b[i+1] \ldots b[n]$$O(l)$$b_i > b_w$$b[i-1]$$a_i$$b_i$

Dies ist nur eine Idee, vielleicht habe ich Glück und sie weist Sie in die richtige Richtung. Dieser Algorithmus funktioniert möglicherweise nicht (für meine wenigen einfachen Tests), entspricht jedoch den angegebenen Hinweisen, sodass er möglicherweise hilfreich ist. Wenn es richtig ist, ist es leicht zu erkennen, dass der -Teil mit Sicherheit auf abgelegt werden kann .O ( log l $O(l)$$O(\log l)$

Hier ist die Lösung des Professors, die er "Reduktion" nennt: Versuchen Sie, für jedes von 0 bis l eine Lösung zu konstruieren, wenn wir wissen, dass die Abweichung kleiner oder gleich i ist . Das erste i, für das eine Lösung gefunden werden kann, ist die minimale Abweichung. Wir können eine Lösung finden, wenn die Abweichung in der O ( n ) -Zeit gegeben ist. Die Laufzeit ist also O ( n l ) . Anstelle der linearen Suche können wir dann die binäre Suche verwenden, um die kleinste Abweichung zu bestimmen, für die eine Lösung möglich ist. Dies reduziert die Laufzeit auf O ( n log $i$$0$$l$$i$$i$$O(n)$$O(nl)$ , die die Anforderung von O ( n 4 √ erfüllt$O(n\log l)$.$O(n\sqrt[4]{l})$

Ich denke, das sollte in O (n) machbar sein.

Nehmen Sie das ähnliche Problem: Wenn , 1 ≤ i ≤ n und d ≥ 0 sind, finden Sie b i in nicht absteigender Reihenfolge, so dass | a i - b i | ≤ d für alle i, oder zeigen Sie, dass es nicht möglich ist. Dies kann in O (n) erfolgen, und mit der binären Suche wird das ursprüngliche Problem in O (n log l) gelöst.$a_i$$b_i$$|a_i - b_i| ≤ d$

$b_i ≥ a_i - d, b_j ≤ a_j + d < a_i - 2d + d = a_i - d ≤ b_i$

Aber wenn a_i - a_j ≤ 2d für alle i ≤ j, dann denke ich, wird immer eine Lösung gefunden werden. Also müssen wir nur m = max (a_i - a_j) für alle i ≤ j finden und d = floor ((m + 1) / 2) wählen. Dieses Maximum kann in O (n) gefunden werden.