Komplette Probleme für

Wir wissen, dass die $polyL$-Hierarchie hat keine vollständigen Probleme, da dies mit dem Satz der Raumhierarchie in Konflikt stehen würde. Aber: Gibt es für jede Ebene dieser Hierarchie vollständige Probleme?

Um genau zu sein: Tut die Klasse $DSPACE(\log(n)^k)$ habe komplette probleme unter $L$-Reduktionen für jeden $k > 0$?

Ein Standardnachweis des Raumhierarchiesatzes basiert auf der platzsparenden Simulation von Turingmaschinen. Wenn ich mich nicht irre, impliziert diese Simulation, dass für jede raumkonstruierbare Funktion f : ℕ → ℕ das folgende Problem in DSPACE ( f ( n )) liegt (wobei n die Eingabelänge ist):

Bei gegebener Codierung einer deterministischen Turingmaschine M mit einem schreibgeschützten Eingabeband und einem Lese- / Schreibarbeitsband mit einem festen Arbeitsalphabet (wie {0, 1, leer}), einer Zeichenfolge x und einer Zählzeichenfolge 1 ^t Entscheiden Sie, ob M an der Eingabezeichenfolge x anhält, bevor Sie mehr als f ( t ) Arbeitsbereich verwenden.

Dieses Problem ist DSPACE ( f ( n )) - schwer unter log-space viele-eins Reduzierbarkeit. Hier ist ein Beweis für f ( n ) = lg ^k n . Für jede Sprache L ∈DSPACE (log ^k n ) gibt es eine Turingmaschine M (in der oben angegebenen Form), die L im c lg ^k n Raum für einige c ∈ ac akzeptiert. Ändern Sie M in M ', so dass M ' stattdessen in eine Endlosschleife geht , wenn M zurückweist . Dann gegeben eine Eingabezeichenfolge xsei t = | x | ^c , und wir erzeugen die Instanz ( M ', x , 1 ^t ) des obigen Problems. (Ich denke, dass der einzige etwas nicht triviale Teil darin besteht, dass wir t = | x | nicht setzen können .)

Daher ist dieses Problem DSPACE ( f ( n )) - vollständig unter log-space multiple-one reducibility.

Nur ein erweiterter Kommentar.

In der Arbeit " Das Leere-Problem für Schnittpunkte regulärer Sprachen " wird gezeigt, dass die Entscheidung über die Leere des Schnittpunkts der von erkannten Sprachen $g(n)$ DFAs sind abgeschlossen für $NSPACE(g(n)\log{n})$;; insbesondere die Leere der Schnittmenge der von erkannten Sprachen$\log^{k-1}{n}$ DFAs sind abgeschlossen für $NSPACE(log^{k}{n})$, $k \geq 1$.

Es scheint jedoch, dass das gleiche Ergebnis nicht auf DPSACE beschränkt werden kann, wenn wir die Leere-Schnittmenge von Sprachen betrachten, die von erkannt werden $g(n)$ Tally-DFAs (DFAs mit nur einem Symbol im Alphabet).

jedoch $\emptyset = \bigcap^k DFA_{lin}$ ist komplett für $DSPACE(\log{n})$ für jedes $k$.