Was ist eine Schätzung der Kolmogorov-Komplexität für die ersten N ganzen Zahlen?

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Ich bin mir bewusst, dass einige Ints höhere oder niedrigere Kolmogorov-Komplexitäten haben. Zum Beispiel hat die Zahl 5.41126806512eine sehr geringe Komplexität, wie sie durch ausgedrückt werden kann 17/pi. Mir ist auch bewusst, dass der KC, obwohl er je nach Ausdruckssprache variiert, bis zu einer bestimmten Konstante immer derselbe ist. Ich frage also: Gibt es eine Möglichkeit, eine Näherung des KC für die ersten N Ints zu berechnen ?

complexity-theory kolmogorov-complexity

— Viclib
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Komprimierungsalgorithmen werden als grobe Annäherungen an die Komplexität von Kolmogorov angesehen. KC verwendet streng definierte TMs und andere Sprachen liegen innerhalb eines konstanten Faktors eines TM. Die ersten N Ints können durch ein TM konstanter Größe aufgezählt werden.

— vzn

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Suchen Sie nach der Kolmogorov-Komplexität der Sequenz oder der Sequenz der Kolmogorov-Komplexität ?

1, \dots, N

$1, \dots, N$

K (1), \dots, K (N)

$K(1), \dots, K(N)$

— David Richerby

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Nein, es gibt keinen allgemeinen Algorithmus, um eine enge Annäherung an die Kolmogorov-Komplexität der Sequenz zu berechnen $1,2,\dots,n$ . Jeder Kandidatenalgorithmus, den Sie entwickeln, hat einige Eingaben, bei denen er eine schlechte Antwort gibt (eine schlechte Annäherung an die richtige Antwort).

Bezeichnen mit $[n]$ die binäre Codierung der natürlichen Zahl $n$ , und lass $[[n]] = [1],[2],\ldots,[n]$ bezeichnen eine durch Kommas getrennte Codierung der Sequenz $1,\ldots,n$ . Es ist nicht schwer, das zu überprüfen $|K([n]) - K([[n]])| = O(1)$ . Seit dem Rechnen $K([n])$ ist unentscheidbar, folgt daraus, dass die Berechnung einer guten Annäherung an $K([[n]])$ ist auch unentscheidbar.

Darüber hinaus ist bekannt, dass für "die meisten" ganzen Zahlen $n$ , $K([n]) = \Theta(\log n)$ . Also für "die meisten" ganzen Zahlen $n$ , $K([[n]]) = \Theta(\log n)$ .

— Yuval Filmus
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Dies setzt voraus, dass die Frage gesucht wird

K ([[n]])

$K([[n]])$ , aber ich denke, die interessante Lektüre der Frage - wie in Davids Kommentar erwähnt - besteht darin, nach asymptotischen Schätzungen von zu fragen

\sum_{i = 1}^{n} K (i)

$\sum_{i=1}^nK(i)$ . als Funktion von

n

$n$ .

— Steven Stadnicki

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Eine Möglichkeit, die Aussage "fast alle Zahlen sind maximal zufällig" auszudrücken, ist die Behauptung, dass $\sum_{i=1}^N K(i) \in\Theta(N\lg N)$ . Zur Vereinfachung einstellen $N=2^k$ und betrachte nur den Teil der Summe aus $2^{k-1}$ zu $2^k$ ;; dann für jeden $c$ wir haben das die Anzahl der Zahlen dieser Länge mit Komplexität $\geq k-c$ ist $2^{k-1}-2^{k-c}$ (Siehe http://en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov_complexity für einige Details dazu), damit wir die Summe in die Summe der ' $c$ -inkompressible 'Zahlen und die komprimierbaren Zahlen, wobei die ersteren zumindest dazu beitragen $(1-2^{1-c})2^{k-1}(k-c)$ zur Summe. Ein bisschen mehr Massage sollte ausreichen, um eine konstante Form zu erhalten $1-o(1)$ vor (dh eine Summe von $N\lg N-o(N\lg N)$ ).

— Steven Stadnicki
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