Warum ist die Entscheidung über die Regelmäßigkeit einer kontextfreien Sprache unentscheidbar?

Während ich studiert habe, ist die Entscheidung über die Regelmäßigkeit kontextfreier Sprachen unentscheidbar.

Wir können jedoch die Regelmäßigkeit mit dem Myhill-Nerode-Theorem testen, das eine notwendige und ausreichende Bedingung liefert. Das Problem sollte also entscheidbar sein.

Wo ist mein Fehler?

— Jiya
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Wie wollen Sie feststellen, ob die Myhill-Nerode-Beziehung eine endliche Anzahl von Äquivalenzklassen hat? Welche Eigenschaft kontextfreier Sprachen ermöglicht es Ihnen Ihrer Meinung nach, dies zu tun?

— David Richerby

Bitte überprüfen Sie die Definition der Berechenbarkeit: Sie müssen eine Turing-Maschine (oder allgemein einen Algorithmus) angeben, die das Problem (immer) löst. Myhill-Nerode ist per se kein Algorithmus, sondern nur eine Charakterisierung. Ist die zur Verfügung gestellte Immobilie entscheidbar? Haben Sie versucht, den Satz in einen solchen Algorithmus umzuwandeln?

— Raphael

{a^{n} b^{n} ∣ n \geq 0}

$\{a^nb^n\mid n\ge 0\}$

{a^{n} b^{m} ∣ the m th Turing machine halts on input m}

$\{a^nb^m\mid \text{the }m\text{th Turing machine halts on input }m\}$

{a^{n} b^{k n} ∣ k is one of David Richerby's favourite numbers}

$\{a^nb^{kn}\mid k\text{ is one of David Richerby's favourite numbers}\}$

@ Jiya Auf jeden Fall ja. Sie müssen jedoch auswählen, welche Ausdrücke Sie akzeptieren möchten, und eine formale Spezifikation dieser Ausdrücke schreiben. Dann müsste Ihre Turing-Maschine die Ausdrücke analysieren und entscheiden, ob sie regulären Sprachen entsprechen oder nicht.

— David Richerby

{a^{k x} b^{ℓ x} c^{m x} | x \geq 0}

$\{a^{kx}b^{\ell x}c^{mx}|x\ge 0\}$

k

$k$

ℓ

$\ell$

m

$m$

k

$k$

ℓ

$\ell$

m

$m$

a

$a$

b

$b$

c

$c$

Myhill-Nerode bietet zwar eine Charakterisierung der regulären Sprachen, aber das reicht nicht aus, um zu zeigen, dass das Problem entscheidbar ist. "Entscheidbar" bedeutet, dass es einen Algorithmus gibt (formeller eine Turing-Maschine), der für jede Eingabe beendet wird und natürlich immer die richtige Antwort gibt. In diesem Fall müssten Sie also einen Algorithmus angeben, der anhand einer Sprache als Eingabe bestimmt, ob die Myhill-Nerode-Beziehung eine endliche Anzahl von Äquivalenzklassen aufweist. Es stellt sich heraus, dass dies für kontextfreie Sprachen nicht möglich ist. Details in Ihrem bevorzugten Lehrbuch für formale Sprachen.

Wenn Sie entscheiden möchten, ob eine allgemeine Sprache regulär ist, ist eine weitere Subtilität, dass Sie vorsichtig sein müssen, was die Eingabe für Ihren Algorithmus ist. Die Eingabe muss eine endliche Zeichenfolge sein - andernfalls wäre selbst das Lesen der Eingabe ein nicht terminierender Algorithmus. Bei kontextfreien Sprachen können Sie eine Grammatik als endliche Darstellung einer unendlichen Sprache verwenden. Für allgemeinere Sprachen würden Sie ... nun, etwas allgemeineres benötigen. Letztendlich sind Sie jedoch zum Scheitern verurteilt , wenn Sie mit allen Sprachen umgehen wollen . Über jedes endliche Alphabet gibt es unzählige Sprachen, aber nur unzählige endliche Zeichenfolgen. Das heißt, Sie können unmöglich alle Sprachen mit endlichen Zeichenfolgen beschreiben. ¹Daher schlägt der Versuch, einen Algorithmus zu schreiben, um festzustellen, ob beliebige Sprachen, die als Eingabe angegeben werden, regelmäßig sind, tatsächlich fehl, bevor er beginnt. Es ist nicht nur so, dass Sie den Algorithmus nicht schreiben können: Sie können nicht einmal die Eingabe schreiben!

Beachten Sie, dass dies nicht bedeutet, dass Sie als Mensch Myhill-Nerode nicht verwenden können, um festzustellen, ob Sprachen regelmäßig sind. Es bedeutet nur, dass Sie keine genauen Anweisungen aufschreiben können, um mir zu sagen , wie das geht. Irgendwann müssten solche Anweisungen so etwas wie "Und dann damit herumspielen, um zu sehen, was funktioniert" oder "Von dort aus müssen Sie es selbst herausfinden" sagen.

Dies bedeutet insbesondere, dass einige Sprachen unentscheidbar sein müssen, da es mehr Sprachen als Algorithmen gibt.

— David Richerby
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Wir können das Problem mit der Eingabecodierung umgehen, indem wir uns auf alle rekursiv aufzählbaren, entscheidbaren oder sogar kontextfreien Sprachen beschränken. Dann haben wir "natürliche" Eingabecodierungen (Grammatiken, Turing-Maschinen, ...), können aber immer noch nicht über die Regelmäßigkeit entscheiden. Es sind also eindeutig subtilere Dinge im Gange.

— Raphael

Danke Raphael. Ich habe bearbeitet, um klarer zu machen, dass der Abschnitt "Untergang" darauf hinweist, dass nicht alle Sprachen als Eingaben akzeptiert werden können.

— David Richerby