Gibt es NP-Probleme, nicht in P und nicht in NP Complete?

Gibt es bekannte Probleme in (und nicht in P ), die nicht N P sind ?$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$ Complete sind? Meines Erachtens gibt es derzeit keine bekannten Probleme, bei denen dies der Fall ist, aber es wurde nicht ausgeschlossen, dass dies möglich ist.

Wenn es ein Problem gibt, das (und nicht P ), aber nicht N P - c o m p l e t e ist , wäre dies ein Ergebnis eines nicht vorhandenen Isomorphismus zwischen Instanzen dieses Problems und dem N P - c o m p l e t e set? Wenn dies der Fall ist, woher wissen wir, dass das N P -Problem nicht schwerer ist als das, was wir derzeit als N P - c o m p l e t identifizieren$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP\text{-}complete}$$\mathsf{NP\text{-}complete}$$\mathsf{NP}$ gesetzt?$\mathsf{NP\text{-}complete}$

Gibt es bekannte Probleme in NP (und nicht in P), die nicht NP Complete sind? Meines Erachtens gibt es derzeit keine bekannten Probleme, bei denen dies der Fall ist, aber es wurde nicht ausgeschlossen, dass dies möglich ist.

Nein, das unbekannt ist (mit Ausnahme der trivialen Sprachen und Σ * , diese beide wegen der Definition von many-one Reduzierungen nicht vollständig sind, in der Regel dieser beide werden ignoriert , wenn viel eine Verringerung Berücksichtigung). Das Vorhandensein eines N P -Problems, das für N P nicht vollständig ist, würde bedeuten, dass P ≠ N P nicht bekannt ist (obwohl allgemein angenommen). Wenn die beiden Klassen unterschiedlich sind, dann wissen wir, dass es Probleme in N P gibt, die nicht vollständig sind. Nehmen Sie ein Problem in P an .$\emptyset$$\Sigma^*$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}\neq\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

Wenn es ein Problem gibt, das NP (und nicht P), aber nicht NP Complete ist, ist dies das Ergebnis eines fehlenden Isomorphismus zwischen Instanzen dieses Problems und dem NP Complete-Satz?

Wenn die beiden Komplexitätsklassen unterschiedlich sind, gibt es nach dem Ladner-Theorem Probleme, die -Zwischenprodukte sind, dh sie liegen zwischen P und N P - c o m p l e t e .$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP\text{-}complete}$

Wenn dies der Fall ist, woher wissen wir dann, dass das NP-Problem nicht "schwerer" ist als das, was wir derzeit als NP-Komplettset bezeichnen?

Sie sind immer noch Polynomzeit reduzierbar auf Probleme , so dass sie nicht härter als seine N P - c o m p l e t e Probleme.$\mathsf{NP\text{-}complete}$$\mathsf{NP\text{-}complete}$

Wie @Kaveh feststellte, ist diese Frage nur interessant, wenn wir annehmen ; Der Rest meiner Antwort geht davon aus, dass dies der Fall ist, und enthält meist Links, um Ihren Appetit weiter zu befeuchten. Unter dieser Annahme wissen wir nach Ladners Theorem, dass es Probleme gibt, die weder in P noch in N P C sind ; Diese Probleme werden N P -Zwischenprodukt oder N P I genannt . Interessanterweise kann Ladners Theorem auf viele andere Komplexitätsklassen verallgemeinert werden , um ähnliche Zwischenprobleme zu erzeugen. Ferner impliziert der Satz auch, dass es eine unendliche Hierarchie gibt$P \neq NP$$P$$NPC$$NP$$NPI$von Zwischenproblemen, die in nicht mehrmals miteinander reduzierbar sind .$NPI$

Leider ist es selbst mit der Annahme sehr schwierig, natürliche Probleme zu finden, die nachweislich N P I wären (natürlich haben Sie die künstlichen Probleme, die sich aus dem Beweis des Ladner-Theorems ergeben). Selbst wenn wir zu diesem Zeitpunkt P ≠ N P annehmen, können wir nur glauben, dass einige Probleme N P I sind, aber wir können es nicht beweisen. Wir kommen zu solchen Glauben , wenn wir vernünftige Beweise zu glauben , dass ein N P Problem nicht in ist N P C und / oder nicht in $P \neq NP$$NPI$$P \neq NP$$NPI$$NP$$NPC$$P$; oder gerade, wenn es für eine lange Zeit studiert wurde und vermieden wurde, in eine der Klassen zu passen. Diese Antwort enthält eine ziemlich umfassende Liste solcher Probleme . Es enthält Favoriten aller Zeiten wie Factoring, diskretes Log und Graph-Isomorphismus.

Interessanterweise haben einige dieser Probleme (bemerkenswert: Factoring und diskretes Log) polynomielle Zeitlösungen auf Quantencomputern (dh sie sind in ). Einige andere Probleme (wie der Graph-Isomorphismus) sind in B Q P nicht bekannt , und es gibt laufende Forschungen, um die Frage zu lösen. Andererseits wird vermutet, dass N P C ⊈ B Q P , so dass die Leute nicht glauben, dass wir einen effizienten Quantenalgorithmus für SAT haben werden (obwohl wir eine quadratische Beschleunigung erzielen können); Es ist eine interessante Frage, sich Gedanken darüber zu machen, welche Art von Struktur N P ich brauche, um in B zu sein$BQP$$BQP$$NPC \not\subseteq BQP$$NPI$$BQP$ .

Es sind keine NP- vollständigen Probleme in P bekannt . Wenn es einen Polynomzeitalgorithmus für ein NP- vollständiges Problem gibt, dann ist P = NP , da jedes Problem in NP eine Reduzierung der Polynomzeit auf jedes NP- vollständige Problem hat. (So ​​wird eigentlich " NP- vollständig" definiert.) Und wenn jedes NP- vollständige Problem außerhalb von P liegt , bedeutet dies natürlich, dass P ≠ NP ist . Wir sind uns nicht sicher, warum es schwierig ist, es auf die eine oder andere Weise zu zeigen. Wenn wir die Antwort auf diese Frage wüssten, würden wir wahrscheinlich viel mehr über P wissen undNP. Wir haben einige Beweistechniken, von denen wir wissen, dass sie nicht funktionieren (zum Beispiel Relativierung und natürliche Beweise), aber wir haben keine prinzipielle Erklärung, warum dieses Problem schwierig ist.

Wenn es in NP Probleme gibt, die nicht in P sind , dann gibt es tatsächlich eine unendliche Hierarchie von Problemen in NP zwischen denen in P und denen, die NP vollständig sind: Dies ist ein Ergebnis, das Ladner-Theorem genannt wird .

Hoffe das hilft!

$P$

$P$$P$

$P$

¹ Ähnliches Problem: Der Subgraph-Isomorphismus ist in starkem Sinne NP-vollständig.