Probabilistischer Test der Matrixmultiplikation mit einseitigem Fehler

Gegeben drei Matrizen wollen wir testen , ob AB \ neq C . Angenommen, die arithmetischen Operationen + und - benötigen eine konstante Zeit, wenn sie auf Zahlen aus \ mathbb {Z} angewendet werden .$A, B,C \in \mathbb{Z}^{n \times n}$$AB \neq C$$+$$-$$\mathbb{Z}$

Wie kann ich einen Algorithmus mit einseitigem Fehler angeben, der in $O(n^2)$ wird, und seine Richtigkeit beweisen?

Ich habe es jetzt mehrere Stunden lang versucht, aber ich kann es nicht richtig machen. Ich denke, ich muss die Tatsache nutzen, dass für jedes $x \in \mathbb{Z}^n$ höchstens die Hälfte der Vektoren s \ in S = \ left \ {1, 0 \ right \} ^ n x \ cdot s$s \in S = \left\{1, 0\right\}^n$ erfüllt $x \cdot s = 0$ , wobei $x \cdot s$ das Skalarprodukt $\sum_{i=1}^{n} x_is_i$ .

Wenn $AB=C$ , dann ist $A(Bx)=Cx$ für alle Vektoren $x$ . Generieren Sie zufällig Vektoren und überprüfen Sie diese. Dies ist als Freivalds-Algorithmus bekannt . Wikipedia hat Details.