Direktreduktion von

Wir wissen , dass in ist N L von Immerman-Szelepcsenyi Theorem Theorem und da s t - c o n n e c t i v i t y ist N L - h a r d daher s t - n $st\text{-}non\text{-}connectivity$$\mathsf{NL}$$st\text{-}connectivity$$\mathsf{NL\text{-}hard}$ viel einem log-Raum ist reduzierbar s t - c o n n e c t i v i t y . Aber gibt es eine direkte / kombinatorische Reduktiondie nicht durch die Konfiguration grafische Darstellung der TuringMaschinen in gehen N L ?$st\text{-}non\text{-}connectivity$$st\text{-}connectivity$$\mathsf{NL}$

$\mathsf{stConnectivity}$ (aka):$stPATH$

Gegebener gerichteter Graph und Eckpunkte s und t ,$G$$s$$t$

Gibt es einen gerichteten Pfad vom Scheitelpunkt zum Scheitelpunkt t ?$s$$t$

Klarstellungen:

Sie können davon ausgehen, dass ein Diagramm durch seine Adjazenzmatrix gegeben ist (dies ist jedoch nicht wesentlich, da Standarddarstellungen von Diagrammen ineinander konvertierbar sind.)

Es ist möglich , den Nachweis der auszupacken Ness von s t - c o n n e c t i v i t y und es in den Beweis zu bewegen , um den Beweis der es nicht benutzen , daß Theorem als Lemma . Dies ist jedoch im Wesentlichen immer noch die gleiche Konstruktion. Was ich suche, ist nicht das, ich möchte eine konzeptuell direkte Reduktion. Lassen Sie mich eine Analogie zum N P -Fall geben. Wir können verschiedene N P - c o m p l reduzieren$\mathsf{NL\text{-}hard}$$st\text{-}connectivity$$\mathsf{NP}$ Probleme miteinander unter Ausnutzung der Tatsachedass sie in sind N P daher reduzieren S A T und S A T zu dem anderen Problem verringert. Und wir können diese beiden Ermäßigungen auspacken und kombinieren, um eine direkte Ermäßigung zu erhalten. Es ist jedoch oft möglich, eine konzeptionell viel einfachere Reduktion zu geben, die diesen Zwischenschritt nicht durchläuft (Sie können die Erwähnung entfernen, aber sie ist konzeptionell immer noch vorhanden). Zum Beispiel, um H a m P a t h oder V e r t e x C o v zu reduzieren$\mathsf{NP\text{-}complete}$$\mathsf{NP}$$SAT$$SAT$$HamPath$ oder 3 - C o l o r i n g bis S A T wir nicht sagen , H ein m P a t H in ist N P und reduziert daher S A , da S A T ist N P - h a r d . Wir können eine einfache intuitive Formel angeben, die erfüllt werden kann, wenn der Graph einen Hamilton-Pfad hat. Ein weiteres Beispiel sind Reduzierungen aufgrund anderer Probleme in$VertexCover$$3\text{-}Coloring$$SAT$$HamPath$$\mathsf{NP}$$SA$$SAT$$\mathsf{NP\text{-}hard}$ zu s t - C o n n e c t i v i t y , welche verlasse nicht auf N L - C o m p l e t e Ness von s t - C o n n e c t i v i t y zB C y c l e , S t r o n $\mathsf{NL}$$st\text{-}Connectivity$$\mathsf{NL\text{-}complete}$$st\text{-}Connectivity$$Cycle$ , usw., beinhalten sie Modifikation an der Eingangs Graphen (und beziehennicht auf irgendwelche Turing Maschinendie sie löst).$StronglyConnected$

Ich sehe immer noch keinen Grund, warum dies für diesen nicht möglich ist. Ich suche eine solche Ermäßigung.

Es könnte der Fall sein , dass dies nicht möglich ist , und jede Verringerung konzeptionell durch das gehen würde ness Ergebnis. Ich verstehe jedoch nicht, warum dies der Fall sein sollte, warum sich die Situation von der des N P- Falls unterscheiden würde. Um eine negative Antwort auf meine Frage zu geben, müssten wir natürlich formeller darüber sein, wann ein Proof konzeptionell ausgeführt wird$\mathsf{NL\text{-}hard}$$\mathsf{NP}$fügen Sie einen weiteren Beweis bei (das ist die Frage der Beweistheorie, dass die AFAIK nicht zufriedenstellend abgerechnet hat). Beachten Sie jedoch, dass für eine positive Antwort keine solche formale Definition erforderlich ist, und ich hoffe, dass dies der Fall ist. (Ich werde darüber nachdenken, wie ich meine Fragen auf getreue Weise formalisieren kann, wenn ich mehr Freizeit finde. Im Wesentlichen möchte ich eine Reduzierung, die auch dann funktioniert, wenn wir nicht wissen, dass das Problem für vollständig ist .)$\mathsf{NL}$

Mit dem Beweis Immerman-Szelepcsenyi Satz in Ordnung ist, unter Verwendung von ness s t P A T H und Konfiguration Graph einer N L Maschine ist das, was ich vermeiden will.$\mathsf{NL\text{-}complete}$$stPATH$$\mathsf{NL}$

It is possible, if messy, to convert the proof of the Immerman-Szelepcsényi theorem to the reduction you want. There is absolutely no need to use the NL-completeness of st-connectivity.

Wenn eine Instanz , konstruieren wir einen neuen Graphen G ' = ( V ' , E ' ) , s ' , t ' . Die "Hauptscheitelpunkte" von V ' zeichnen die folgenden Informationen auf: die aktuelle Entfernung d von s , die Anzahl der Scheitelpunkte der Entfernung höchstens d - 1 , die Anzahl der Scheitelpunkte der Entfernung d - $G=(V,E),s,t$$G'=(V',E'),s',t'$$V'$$d$$s$$d-1$$d-1$ counted so far, the current vertex we're guessing if it has distance at most $d-1$, the number of vertices of distance at most $d$ counted so far, the current vertex we're determining whether it has distance at most $d$. The minor vertices handle the part where we guess a path of length at most $d-1$ to a vertex which we guess to be of distance at most $d-1$. Edges that involve showing the vertex $t$ is reachable from $s$ are dropped. For each vertex which we're testing at the current distance, we only move forward to the next vertex if we have accounted for all vertices of smaller distance. When moving from distance $d$ to distance $d+1$, we copy the requisite information. The starting vertex $s'$ accounts for the fact that $s$$t'$$n-1$$n=|V|$.

Wie Sie sehen, wird es ziemlich chaotisch sein, alles vollständig und richtig zu schreiben, aber es ist definitiv möglich. Es wurde keine offensichtliche Verwendung der NL-Vollständigkeit vorgenommen, da wir niemals das Konfigurationsdiagramm einer NL-Maschine verwenden. Dies ist nicht erforderlich, da wir etwas Besseres als das Konfigurationsdiagramm haben - die Eingabeinstanz selbst.