Reduzierungen bei unentscheidbaren Problemen

Es tut mir leid, wenn diese Frage eine triviale Antwort hat, die mir fehlt. Immer wenn ich ein Problem untersuche, das sich als unentscheidbar erwiesen hat, stelle ich fest, dass der Beweis auf einer Reduktion auf ein anderes Problem beruht, das sich als unentscheidbar erwiesen hat. Ich verstehe, dass es eine Art Ordnung über den Schwierigkeitsgrad eines Problems schafft. Aber meine Frage ist - wurde bewiesen, dass alle Probleme, die nicht entschieden werden können, auf ein anderes Problem reduziert werden können, das nicht entschieden werden kann. Ist es nicht möglich, dass es ein unentscheidbares Problem gibt, das nachweislich nicht auf ein anderes unentscheidbares Problem reduziert werden kann? (Um die Unentscheidbarkeit eines solchen Problems zu beweisen, kann man keine Reduzierungen verwenden). Wenn wir Reduzierungen verwenden, um eine Reihenfolge für den Grad der Berechenbarkeit zu erstellen, kann diesem Problem kein solcher Grad zugewiesen werden.

computability reductions undecidability

— swarnim_narayan
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Kurze Antwort: alles andere als trivial! Schauen Sie sich die arithmetische Hierarchie an .

— Hendrik Jan

Was ist damit: Wenn

L

$L$

x min L

$x \min L$

L

$L$

L^{'} = L ∖ {x}

$L' = L \setminus \{x\}$

L

$L$

L^{'}

$L'$

L

$L$

Wie Hendrik Jan erwähnte, gibt es tatsächlich unterschiedliche Grade der Unentscheidbarkeit. Zum Beispiel ist das Problem, zu entscheiden, ob eine Turing-Maschine an allen Eingängen stoppt , im folgenden Sinne schwieriger als das Stopp-Problem: Selbst wenn das Stopp-Problem ein Orakel ist, können wir nicht entscheiden, ob eine bestimmte Turing-Maschine an allen Eingängen stoppt .

Eine wichtige Technik, um solche Beziehungen zu zeigen, ist die Diagonalisierung . Bei Verwendung der Diagonalisierung können wir bei einem Problem immer ein schwierigeres Problem finden, nämlich das Stoppproblem für Turing-Maschinen mit Zugriff auf a $P$ Orakel. Das neue Problem ist im folgenden Sinne schwieriger: Eine Turingmaschine mit einem Orakelzugang zu kann nicht lösen. In diesem Sinne gibt es kein "schwerstes" Problem. $P$ $P'$ $P$ $P'$

— Yuval Filmus
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Danke für die Antwort. Ich habe verstanden, was du sagst. Wir können "härtere" Probleme aus "harten" konstruieren. Aber decken diese Konstruktionsschemata von härteren Problemen aus harten (zum Beispiel die Diagonalisierung ist ein solches Schema, wie Sie es erwähnt haben) notwendigerweise "alle" existierenden unentscheidbaren Probleme ab (dh es wird garantiert, dass sie die Menge aller unentscheidbaren Probleme konstruieren). Ist es nicht möglich, dass einige in der Konstruktion weggelassen wurden und sie nicht aus anderen Unentscheidbaren konstruiert werden können?

— swarnim_narayan

Im Gegenteil, wir wissen, dass die meisten Probleme weggelassen werden, da es nur unzählige definierbare Probleme gibt, aber insgesamt unzählige Probleme. Konkreter fragen Sie, wie man "wirklich harte" Probleme definiert, das rekursionstheoretische Analogon großer Kardinäle. Wenn Sie daran interessiert sind, stellen Sie eine neue Frage, die sich auf diesen Aspekt konzentriert.

— Yuval Filmus

Ein ähnliches Problem tritt beim Aufbau von Hierarchien rekursiver, schnell wachsender Funktionen auf. In diesem Fall ist bekannt, dass es in gewissem Sinne keine Möglichkeit gibt, eine schöne, erschöpfende Hierarchie zu erstellen.

— Yuval Filmus