Finden Sie heraus, welche Scheitelpunkte aus dem Diagramm gelöscht werden sollen, um die kleinste größte Komponente zu erhalten

Wenn ein Graph $G = (V, E)$ , finden Sie $k$ Eckpunkte $\{v^*_1,\dots,v^*_k\}$ , deren Entfernung zu einem Graph mit der kleinsten größten Komponente führen würde.

Ich nehme für große $n = |V|$und groß $k$ das Problem schwierig (NP-hart), aber ich interessiere mich für kleine Werte von $k$ ( $k \in \{1, 2, 3, 4\}$ ).

Für $k = 1$ ist es meines Erachtens möglich, den besten zu entfernenden Scheitelpunkt $\{v^*_1\}$ zu finden, indem eine einzelne Tiefensuche des Graphen durchgeführt wird (dh Artikulationspunkte überprüft werden).

Für $k = 2$ wäre es möglich, die besten Eckpunkte $\{v^*_1, v^*_2\}$ indem $n$ Tiefensuchen durchgeführt werden (jede davon für den Graphen $G_i = G / \{v_i\}$ ). Ein ähnlicher Ansatz könnte im Fall angewendet werden $k > 2$.

Ich frage mich, ob es eine bessere Lösung gibt.

(Verwandte: Zählen der minimalen Anzahl von Scheitelpunkten, ohne sie unbedingt aufzuzählen )

Das von Ihnen beschriebene Problem wird im Bereich der Schwachstellenmaße von Diagrammen als Komponentenordnungskonnektivität bezeichnet . Die Entscheidungsversion des Problems lautet wie folgt:

Konnektivität der Komponentenreihenfolge :

Eingabe: Graph , ganze Zahlen k und $G = (V,E)$$k$$\ell$

Frage: Gibt es eine Reihe von Eckpunkten einer Größe von höchstens k, so dass die Größe der größten Komponente von G - X höchstens ℓ beträgt?$X \subseteq V$$k$$G - X$$\ell$

Das Problem ist offensichtlich NP-vollständig, da es die Scheitelpunktabdeckung verallgemeinert; der Fall, wenn ist, ist die Scheitelpunktabdeckung. Daher kann das Problem nicht behoben werden, wenn der Parameter durch ℓ parametrisiert wird (es sei denn, F P T = W [ 1 ] ). Es ist auch bekannt, dass das Problem W [ 1 ] -hart ist, wenn es durch k parametrisiert wird . Daher müssen wir auf Algorithmen mit einer exponentiellen Laufzeit in k + ℓ zurückgreifen .$\ell=1$$\ell$$FPT = W[1]$$W[1]$$k$$k+\ell$

Sehr interessante Frage. Für die Eingabe ein Brute-Force-Ansatz:$G,k,\ell$

branching(G,k,l):
    Find a connected set of vertices D of G of size l+1
    if no such D exists:
            return True // no component of size > l
    for v in D:
        if branching(G-v,k-1,l):
            return True
    return False

Der Algorithmus läuft in der Zeit .$(\ell + 1)^k \cdot n^2$

Beachten Sie, dass jede Ja-Instanz des Problems eine Baumbreite und tatsächlich eine Pfadbreite von höchstens k + ℓ hat . Dies kann durch Sehen , dass die Einnahme einer Deletion Satz beobachtet wird X der Größe höchstens k ergibt einen Graphen G - X wo jede verbundene Komponente Größe höchstens hat l . Daher besteht eine gültige Pfadzerlegung darin, einfach einen Beutel für jede der Komponenten in G - zu konstruieren.$G,k,\ell$$k+\ell$$X$$k$$G-X$$\ell$und dannjedem Beutel dasgesamte X hinzuzufügen. Daraus folgt, dass jede yes-Instanz | hat E ( G ) $G-X$$X$ .$|E(G)| \leq n(k+\ell)$

Ein verwandtes Problem wurde in der Vergangenheit unter dem Namen Graph Integrity oder Vertex Integrity untersucht, um die Vertex-Löschversion und die Kantenlöschversion zu unterscheiden:

Vertex-Integrität :

Eingabe: Graph , ganze Zahl $G = (V,E)$$p$

Frage: Gibt es eine Menge von Eckpunkten so dass | X | + max D ∈ c c ( G - X ) | D | ≤ p ?$X \subseteq V$$|X| + \max_{D \in cc(G-X)}|D| \leq p$

Das heißt, die Summe aus dem Löschsatz und der Größe der maximalen Komponente sollte minimiert werden. Dieses Problem ist auch NP-schwer. Siehe z.

• Clark, LH, Entringer, RC, Fellows, MR: Rechenkomplexität der Integrität. J. Combin. Mathematik. Combin. Comput 2, 179–191 (1987)
• Fellows, M., Stueckle, S.: Die Immersionsreihenfolge, verbotene Untergraphen und die Komplexität der Netzwerkintegrität. J. Combin. Mathematik. Combin. Comput 6, 23–32 (1989)