Komplexität der Rechenmatrixleistungen

Ich bin daran interessiert, die -te Potenz einer Matrix berechnen . Angenommen, wir haben einen Algorithmus für die Matrixmultiplikation, der in läuft . Dann kann man leicht in Zeit berechnen . Kann dieses Problem in kürzerer Zeit gelöst werden? $n$ $n\times n$ $A$ $\mathcal{O}(M(n))$ $A^n$ $\mathcal{O}(M(n)\log(n))$

Matrixeinträge können im Allgemeinen aus einem Semiring stammen, Sie können jedoch eine zusätzliche Struktur annehmen, wenn dies hilfreich ist.

Anmerkung: Ich verstehe, dass im Allgemeinen das Berechnen von in der Zeit einen Algorithmus für die Exponentiation ergeben würde. Einige interessante Probleme beschränken sich jedoch auf den Sonderfall der Matrixexponentiation mit m = , und ich konnte dies bei diesem einfacheren Problem nicht beweisen. $A^m$ $o(M(n)\log(m))$ $o(\log m)$ $\mathcal O(n)$

— Shitikanth
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Was sind die Einträge der Matrix? Ganze Zahlen?

— Kaveh

Die Einträge können im Allgemeinen aus einem Semiring stammen, Sie können jedoch eine zusätzliche Struktur annehmen, wenn dies hilfreich ist.

— Shitikanth

Ich konnte mit der oben vorgeschlagenen Methode (dh mit

) keine Reduktion von Multiplikation zu Quadrierung erzielen . Die Verwendung von

funktioniert jedoch. Doch nur das gibt einen

auf die Berechnung

(A \pm B)^{2}

$(A\pm B)^2$

{(\begin{array}{cc} 0 & A \\ B & 0 \end{array})}^{2}

$\left( \begin{array}{cc} 0 & A \\ B & 0 \end{array} \right)^2$

Ω (M (n))

$\Omega(M(n))$

A^{n}

$A^n$

— Shitikanth

Antworten:

Wenn die Matrix diagonalisierbar ist, kann die te Potenz in der Zeit wobei die Zeit zur Diagonalisierung von . $n$

O (D (n) + n \log n)

$O(D(n)+ n\log n)$

D (n)

$D(n)$

A

$A$

Nur um die Details zu vervollständigen, wenn mit einem Diagonale , dann $A=P^{-1}DP$ $D$

A^{n} = (P^{- 1} D P)^{n} = P^{- 1} D^{n} P

$A^n = (P^{-1}DP)^n = P^{-1}D^nP$

und kann berechnet werden, indem einfach jedes Element der Diagonale (jeder Eigenwert von ) zur ten Potenz genommen wird. $D^n$ $A$ $n$

— Ran G.
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Selbst wenn die Matrix diagonalisierbar ist, benötigen die bekanntesten Algorithmen für die Neuzusammenstellung

-Zeit . Unter Verwendung der Kupferschmiede-Winograd - Algorithmus, haben wir bereits ein

Algorithmus zur Berechnung

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{2.3727} \log (m))

$O(n^{2.3727}\log(m))$

A^{m}

$A^m$

— Shitikanth

(1) Die von Ihnen angegebene Zeit ist nicht von Coppersmith-Winograd (wie Sie wahrscheinlich wissen). (2) Alle Algorithmen dieser Form funktionieren nur für Ringe; Sie funktionieren nicht für allgemeine Semirings (wie Sie in Ihrer Frage zulassen).

— Ryan Williams

Ein guter Ausweg ist Singular Value Decomposition SVD . Bei einer reellen Matrix mit vollem Rang teilt die SVD sie in der Zeit in wobei eine diagonale Matrix ist . Aufgrund der Eigenschaften von SVD gilt , sodass nur die Diagonalmatrix potenziert werden muss und dies in $n\times n$ $A$ $A=U\Sigma U^T$ $\Sigma$ $O(n^3)$ $A^m = U \Sigma^m U^T$ $O(n\log m)$ $U \times \Sigma^m \times U^T$ $O(n^{2.3727})$ $O(n^3 + n \log m)$

$O(n^{2.3727}+n \log m)$ $o(M(n)\log(m))$ $o(\log n)$

— PKG
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O (n^{2.3727})

$O(n^{2.3727})$

O (n^{2.3727} \log (m))

$O(n^{2.3727}\log(m))$

A^{m}

$A^m$

m = O (n)

$m=O(n)$

die SVD gibt im Allgemeinen nicht

- die rechte Matrix ist

A = U Σ U^{⊤}

$A = U \Sigma U^\top$

V \neq U^{⊤}

$V \ne U^\top$

— Suresh

Es ist ein bisschen irreführend,

für die Leistung zu haben , also verwende ich

. Wenn

, sollte

Zeit

, um

zu finden , was der Multiplikation von ganzen Zahlen entspricht

n

$n$

m

$m$

n = 1

$n=1$

O (M (1) \log m

$O(M(1)\log m$

A^{m}

$A^m$

— PKG

\log m

$\log m$

Wie bereits erwähnt, war dies aus Ihrer Frage nicht ersichtlich.

— PKG