Ein kontinuierliches Optimierungsproblem, das sich auf TSP reduziert

Angenommen, ich bekomme eine endliche Menge von Punkten $p_1,p_2,..p_n$ in der Ebene und gebeten, eine doppelt differenzierbare Kurve $C(P)$ durch die zu zeichnen $p_i$, so dass ihr Umfang so klein wie möglich ist. Angenommen, und , kann ich dieses Problem wie folgt formalisieren:$p_i=(x_i,y_i)$$x_i<x_{i+1}$

Aufgabe 1 (bearbeitet als Antwort auf Sureshs Kommentare) Bestimmen Sie die -Funktionen eines Parameters so, dass die Bogenlänge wird minimiert, mit und für alle haben wir . x ( t ) , y ( t ) t L = ∫ [ t ∈ 0 , 1 ] $C^2$$x(t),y(t)$$t$$L = \int_{[t \in 0,1]} \sqrt{x'^2+y'^2}dt$$x(0) = x_1, x(1) = x_n$$t_i: x(t_i) = x_i$$y(t_i)=y_i)$

Wie kann ich beweisen (oder vielleicht widerlegen), dass Problem 1 NP-schwer ist?

Warum ich NP-Härte vermute Angenommen, die Annahme ist gelockert. Offensichtlich ist die Funktion der minimalen Bogenlänge die Travelling Salesman-Tour der . Vielleicht macht die Beschränkung das Problem nur viel schwieriger?p i C $C^2$$p_i$$C^2$

Kontext Eine Variante dieses Problems wurde auf MSE veröffentlicht . Es hat dort und auf MO keine Antwort erhalten . Da es nicht trivial ist, das Problem zu lösen, möchte ich feststellen, wie schwierig es ist.

Die Differenzierungsanforderung ändert nichts an der Art des Problems: Das Erfordernis von (Kontinuität) oder C ∞ (unendliche Differenzierbarkeit) ergibt dieselbe Untergrenze für die Länge und dieselbe Reihenfolge von Punkten und entspricht der Lösung des Problems des reisenden Verkäufers .$\mathcal{C}^0$$\mathcal{C}^{\infty}$

Wenn Sie eine Lösung für den TSP haben, haben Sie eine -Kurve, die alle Punkte durchläuft. Nehmen wir umgekehrt an, Sie haben eine C 0 -Kurve endlicher Länge, die durch alle Punkte verläuft, und lassen Sie p σ ( 1 ) , … , p σ ( n ) die Reihenfolge sein, in der sie die Punkte und t 1 , … , t durchquert n die entsprechenden Parameter (wenn die Kurve einen Punkt mehr als einmal durchquert, wählen Sie einen der möglichen Werte von t ). Dann wird die Kurve aus n Segmenten aufgebaut $\mathcal{C}^0$$\mathcal{C}^0$$p_{\sigma(1)}, \ldots, p_{\sigma(n)}$$t_1,\ldots,t_n$$t$$n$$[p_{\sigma(1)},p_{\sigma(2)}], \ldots, [p_{\sigma(n-1)},p_{\sigma(n)}], [p_{\sigma(n)},p_{\sigma(1)}]$ist kürzer, weil für jedes Segment eine gerade Linie kürzer ist als jede andere Kurve, die den Punkt verbindet. Somit ist für jede Reihenfolge der Punkte die beste Kurve eine TSP-Lösung, und die TSP-Lösung bietet die beste Reihenfolge der Punkte.

Lassen Sie uns nun zeigen, dass das Erfordernis, dass die Kurve (oder C k für jedes k ), die beste Reihenfolge der Punkte nicht ändert. Für jede TSP-Lösung mit der Gesamtlänge ℓ und jeder ϵ > 0 können wir jede Ecke abrunden, dh eine C ∞ -Kurve erstellen , die die Punkte in derselben Reihenfolge durchläuft und eine Länge von höchstens ℓ + ϵ hat (die explizite Konstruktion basiert auf algebraische Funktionen und e - 1 / t 2 zur Definition von Höckerfunktionen und aus diesen glatten Verbindungen zwischen Kurvensegmenten wie z$\mathcal{C}^{\infty}$$\mathcal{C}^k$$k$$\ell$$\epsilon > 0$$\mathcal{C}^{\infty}$$\ell + \epsilon$$e^{-1/t^2}$ das mit y = 0 bei x = 0 und mit y = x bei x = 1 verbunden ist ; es ist mühsam, diese explizit zu machen, aber sie sind berechenbar); Daher ist die Untergrenze für eine C ∞ -Kurve dieselbe wie für eine Sammlung von Segmenten (beachten Sie, dass die Untergrenze im Allgemeinen nicht erreicht wird).$e^{1-1/x^2} (x-e^{-1/(1-x)^2})$$y=0$$x=0$$y=x$$x=1$$\mathcal{C}^{\infty}$