Ist Hidoku NP vollständig?

Ein Hidoku ist ein Gitter mit einigen vorgefüllten ganzen Zahlen von 1 bis n 2 . Ziel ist es, einen Pfad für aufeinanderfolgende ganze Zahlen (von 1 bis n 2 ) im Raster zu finden. Genauer gesagt muss jede Zelle des Gitters eine andere ganze Zahl von 1 bis n 2 enthalten, und jede Zelle mit dem Wert z ≠ n 2 muss eine Nachbarzelle mit dem Wert z + 1 haben (kann auch diagonal sein).$n \times n$$n^2$$n^2$$n^2$$z ≠ n^{2}$$z + 1$

Ist es NP schwer zu entscheiden, ob ein bestimmtes Hidoku lösbar ist? Welche Reduzierung könnte verwendet werden?

Edit: nach den Kommentaren gebe ich ein wenig Klarheit. Gegeben ist ein Gitter von Zellen, von denen einige bereits Werte enthalten (ganze Zahlen von 1 bis n²). Wir müssen alle verbleibenden Zellen mit ganzen Zahlen von 1 bis füllen , so dass keine zwei Zellen den gleichen Wert haben und jede Zelle mit dem Wert z ≠ n ² einen Nachbarn mit dem Wert . Das heißt, nach dem Ausfüllen der Zellen müssen wir den Pfad . In dem Raster, das jede Zelle logisch besucht.$n^2$$z ≠ n²$1 , 2 , 3 , ⋯ , n $z + 1$$1, 2, 3,\cdots, n^2$

Ein Beispiel für ein Hidoku wäre http://www.janko.at/Raetsel/Hidoku/018.c.gif . Ein bereits gelöstes Hidoku ist http://diepresse.com/images/uploads/3/f/7/586743/spectrumsommerraetsel_7august_hidoku_schwer_loesung20100810172340.gif , wo Sie den Pfad sehen können, auf den ich mich bezog.

Ich denke , es ist -komplette: wie von Raffael, Hamilton - Zyklus auf Raster Graphen bemerkt mit Löchern Problem NP-vollständig ( Alon Itai, Christos Papadimitriou, Jayme Luiz Szwarcfiter: Hamilton - Pfade in der Grid - Graphs SIAM J. Comput.. 11 (4): 676 & ndash; 686 (1982) ).$\sf{NP}$

Wenn Sie also einen Gittergraphen mit Löchern haben, können Sie leicht ein äquivalentes Hidoku-Spiel erstellen, bei dem die anfänglichen festen Zellen alle geraden Diagonalen ausfüllen. Die leeren ungeraden Diagonalen bilden einen ungerichteten Graphen, der dem ursprünglichen Gittergraphen G entspricht, und das Hidoku hat nur dann eine Lösung, wenn der ursprüngliche Gittergraphen einen Hamilton-Pfad hat.$G$$G$

Abbildung 1: Ein Gitterdiagramm mit Löchern und dem entsprechenden Hidoku-Puzzle (blaue Zellen stehen für die ersten Zellen mit fester Nummer ( 1 ist die erste, 144 ist die letzte), weiße Zellen sind die Zellen, die der Spieler ausfüllen muss, violette Linie gibt die Reihenfolge der anfänglichen Zellen mit fester Nummer an).$12 \times 12$$1$$144$

Zusätzliche (gefüllte) Linien können unten oder rechts hinzugefügt werden, um ein Quadrat daraus zu machen.

Ein weiteres Beispiel für die Reduzierung von einem Gitterdiagramm auf ein Hidoku-Puzzle: Das 6x4-Gitterdiagramm ist in ein größeres 13x13-Gitter eingebettet. Die geraden Diagonalen werden mit festen Zahlen gefüllt, und die verbleibenden freien Zellen entsprechen dem ursprünglichen Gitterdiagramm.

Das vollständige Bild mit Transformation kann hier heruntergeladen werden .

Einige zusätzliche Hinweise zur Vervollständigung der Antwort:

• das Problem ist auch als Hidato bekannt ; Das Board kann eine beliebige Form haben (aber als Verallgemeinerung des quadratischen Gehäuses bleibt es NP-hart).

• $n \times n$

• Ich denke, dass die ursprünglichen Spielregeln besagen, dass die Lösung einzigartig sein sollte . Das Problem liegt also in den USA (US-schwer), und es ist unwahrscheinlich, dass es sich um NP handelt.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass wir die eindeutige Lösungseinschränkung aufheben und die erste Karte mit einer Liste von n 2 angeben$n^2$$\sf{NP}$

$n\times n$$\Omega(n)$$n$$\lg n$$(x_i, y_i, w_i): x_i, y_i\leq n, w_i\leq n^2$$(x_i, y_i)$$w_i$$\lg n + \lg n + \lg n^2 = 4\lg n\in O(\lg n)$$\Omega(n)$$o(n)$

$\Omega(n)$

(Eine Diskussion über ähnliche Themen finden Sie in meiner Frage vor einiger Zeit zur Komplexität von prägnantem Nurikabe auf der Website cstheory.SE.)