Was ist die Komplexität von (möglicherweise prägnantem) Nurikabe?

Nurikabe ist ein auf Einschränkungen basierendes Puzzle, das Minesweeper / Nonograms sehr ähnlich ist. Zahlen werden in einem Raster platziert, das mit Ein / Aus-Werten für jede Zelle gefüllt werden soll, wobei jede Zahl einen Bereich verbundener "Ein" -Zellen dieser Größe und einige geringfügige Einschränkungen für den Bereich "Aus" -Zellen (it) angibt muss verbunden sein und darf keine zusammenhängenden 2x2-Regionen enthalten). Die Wikipedia-Seite enthält explizitere Regeln und Beispielrätsel.

Im Allgemeinen sind Rätsel dieser Art in der Regel NP-vollständig, und Nurikabe ist keine Ausnahme. Sie fallen in NP, weil die Lösung selbst als (polynomisch überprüfbarer) Zeuge des Problems dient. Aber im Gegensatz zu den meisten ähnlichen Rätseln können Nurikabe-Instanzen kurz und bündig sein: Sudoku in einem Gitter erfordert, dass Θ ( n ) Gegebenheiten lösbar sind (wenn weniger als n - 1 Gegebenheiten angeboten werden, gibt es keine Möglichkeit, zwischen den fehlenden Symbolen zu unterscheiden). Für Nonogramme ist offensichtlich mindestens eine für jede Zeile oder Spalte erforderlich, und Minesweeper muss mindestens $n\times n$$\Theta(n)$$n-1$ der Zellen oder es gibt Zellen, die nicht neben einer bestimmten stehen (und deren Status daher nicht bestimmt werden kann). Aber während die Gegebenheiten eines Nurikabe-Puzzles zuΘ(n2)summieren müssen, ist es möglich, dassO(1)jede dieser Größen gibt, so dassΘ(log(n))Bits ausreichen könnten, um ein Nurikabe-Puzzle anzugeben von der Größen- oder invertierend könnenkBits ausreichen, um eine Nurikabe-Instanz der Größe exponentiell inkanzugeben, was bedeutet, dass die einzige Garantie darin besteht, dass das Problem in NEXP liegt.$1\over16$$\Theta(n^2)$$\mathrm{O}(1)$$\Theta(\log(n))$$n$$k$$k$

Leider haben die Beweise für Nurikabes Härte, die ich gefunden habe, alle Konstruktionen mit -Gegebenen konstanter Größe verwendet, so dass ihre Instanzen eher in der Gittergröße als logarithmisch polynomisch sind, und ich kann nicht ausschließen, dass alle lösbar kurz sind 'Nurikabe-Rätsel haben eine zusätzliche Struktur, so dass Lösungen ebenso prägnant beschrieben und verifiziert werden können. Zum Beispiel führt das eine mir bekannte Beispiel eines Puzzles mit 2 Gegebenheiten der Größe Θ ( n 2 ) zu Regionen sowohl auf als auch außerhalb von Zellen, die jeweils die Vereinigung von O ( 1 $\Theta(n^2)$$\Theta(n^2)$$\mathrm{O}(1)$Rechtecke, und haben so eine prägnante Beschreibung ihrer eigenen. Kennt jemand zusätzliche Untersuchungen, die über das grundlegende Ergebnis der NP-Vollständigkeit hinaus in dieses Rätsel eingearbeitet wurden, und insbesondere weitere Komplexitätsergebnisse für die möglicherweise prägnanten Fälle?

(Hinweis: Dies wurde ursprünglich bei math.SE angefragt , aber es gab dort noch keine Antworten und dies scheint für diese Site auf angemessenem Forschungsniveau zu sein.)

Sie scheinen wirklich zu fragen: Ist Nurikabe in NP?

Nurikabe ist NP-hart, da man Gadgets in Polynomgröße bauen kann, mit denen ein NP-vollständiges Problem auf ein Nurikabe-Entscheidungsproblem reduziert werden kann. Dies tun Holzer, Klein und Kutrib sowie McPhail und Fix in ihrem Poster (beide aus dem Wikipedia-Artikel).

Beide Autorengruppen gehen davon aus, dass das Problem im NP trivial liegt, und winken die Frage der Mitgliedschaft ab. Ihr Unbehagen über prägnante Fälle scheint genau richtig zu sein - ich glaube nicht, dass das Problem in NP liegt. Betrachten Sie den folgenden Weg, um das Entscheidungsproblem zu formalisieren:

BINARY NURIKABE
Eingabe: Ganzzahlen m und n in Binärform , die eine Nurikabe- Karte darstellen , und eine Liste von Tripeln, die jeweils eine Position auf der Karte und eine positive Ganzzahl angeben, die an dieser Position geschrieben ist.
Frage: Können die verbleibenden Brettpositionen unter Berücksichtigung der Nurikabe-Einschränkungen zweifarbig gefärbt werden?

$m$$n$$mn$

$(m-2)(n-2)$$m \times n$$mn-1$$\Theta(\log\, m + \log\, n)$

Ihre Frage lautet dann: Gibt es Zertifikate in Polynomgröße für alle binären Nurikabe-Instanzen, die in Polynomzeit überprüft werden können?

Mir ist nicht klar, dass solche Zertifikate unbedingt existieren. Es ist auch nicht klar, wie man beweisen würde, dass prägnante, schnell überprüfbare Zertifikate nicht existieren können.

Die Beschränkung auf eindeutige Lösungen bedeutet jedoch, dass das Problem tatsächlich US -hart ist, also co-NP-hart und daher wahrscheinlich nicht in NP. Der Punkt ist, dass, wenn man "hat eine einzigartige Lösung" als eine Nurikabe-Einschränkung betrachtet (im Gegensatz zu einem wünschenswerten Merkmal von Instanzen, die dem Menschen präsentiert werden), es nicht ausreicht, zu zeigen, dass es eine Lösung gibt, aber man muss es auch zeigen, dass keine anderen Lösungen möglich sind. Diese Anforderung allein reicht dann aus, um sicherzustellen, dass das Problem wahrscheinlich nicht in NP liegt. Dies gilt auch für die unäre Version des Problems.

Zusammenfassend: Wenn man die Anforderung an eindeutige Lösungen lockert und die Boardgröße in unär angibt, liegt das Entscheidungsproblem in NP; Bei nicht eindeutigen Lösungen und der Größe der Binärplatine ist unklar, ob das Entscheidungsproblem in NP liegt. und mit einzigartigen Lösungen ist das Entscheidungsproblem US-schwer und daher unwahrscheinlich, dass es sich bei beiden Codierungen der Kartengröße um NP handelt.