2D-Abtastung mit mehrdimensionalen Transformationen

Derzeit lerne ich mathematische Verteilungskonzepte und deren Verwendung in einem Raytracer mit dem Buch "Physically Based Rendering".

Beginnen wir mit einer einheitlichen Abtastung einer Hemisphäre:

Wie Sie wahrscheinlich wissen, besteht eine Möglichkeit, die gleichmäßig verteilte Richtung zu erzeugen, darin, die Inversionsmethode zu verwenden.

Bezeichnen wir mit $p$ unsere einheitliche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:

$p(\omega) = \cfrac{1}{2\pi}$ und so $p(\theta, \phi) = \sin(\theta)p(\omega)$ .

Dann rechnen Sie $p(\theta)$ , $p(\phi | \theta)$ Sie integrieren Ihre kumulative Verteilungsfunktion und invertieren die Funktion.

Meine Fragen sind:

Was macht $p(\theta, \phi)$ wirklich gemein?
Was ist die Transformation zwischen $p(\omega)$ und $p(\theta, \phi)$ ?
In dem Buch zu finden $p(\theta,\phi)$ sie geben das an $p(\theta, \phi) d\theta d\phi = p(\omega)d\omega$ , aber warum?

Ich weiß das für $p(\omega)$ ist unsere Zufallsvariable gegeben $\omega$ (eine Richtung), also stellt die Funktion eine relative Wahrscheinlichkeit für diese Richtung dar (also einen Raumwinkel, da der relative Term eine Richtung und einen Delta-Bereich um diese Richtung impliziert).

Aber für $p(\theta,\phi)$ Unsere Zufallsvariable ist jetzt das Paar $(\theta,\phi)$ . Inwieweit unterscheidet es sich von einer Richtung?

— Qzaac
quelle

@DanHulme Hast du eine Antwort auf diesen Beitrag?

— Qzaac

Beachten Sie, dass die @ Benutzernamen-Benachrichtigungen nur für Benutzer funktionieren, die diesen bestimmten Beitrag bereits kommentiert haben. Es ist nur ein Zufall, dass die erwähnte Person zufällig eine Antwort gepostet hat ...

— Trichoplax

@ Trichoplax Es ist kein völliger Zufall. Ich glaube, ich wurde benachrichtigt, weil ich die Frage zuvor bearbeitet hatte, und der Kommentar erinnerte mich daran, dass ich beabsichtigte, zurückzukommen und eine Antwort zu posten, wenn ich mehr Zeit hatte.

— Dan Hulme

Interessant. Ich wusste nicht, dass Änderungen das taten. Es macht aber Sinn ... Danke, dass Sie mich informiert haben.

— Trichoplax

@ Trichoplax Ich habe gerade mein Glück versucht

— Qzaac

Ich bin nicht sicher, ob ich die Frage richtig verstanden habe, aber hier geht es weiter.

Sie versuchen, Anweisungen gleichmäßig abzutasten, also haben Sie $p(\omega)$ Dies ist die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Richtung zu erhalten. Aber was ist eine Richtung? Sie benötigen tatsächlich Ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung, um Zahlen in einer Darstellung zu erzeugen, und die am einfachsten zu behandelnde Darstellung ist lat-long (dh zwei Winkel). Das, woraus Sie tatsächlich abtasten müssen, ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Winkelpaaren. Das ist was $p(\theta, \phi)$ ist: die gemeinsame Wahrscheinlichkeit zweier Variablen.

$p(\omega)$ und $p(\theta, \phi)$ bedeuten dasselbe geometrisch, aber das erstere gibt Ihnen eine abstrakte Richtung, aus der Sie nicht direkt abtasten können, während das letztere sinnvoller zwei Zahlen gibt, die eine Richtung darstellen.

Der Grund für Ihren dritten Aufzählungspunkt liegt in dem Punkt, den Sie darüber gemacht haben, dass es sich nicht nur um eine einzelne Richtung handelt. Dies sind keine wirklichen Funktionen: Sie sind Distributionen . Eine Richtung ist infinitesimal, sodass Sie nicht nur eine Richtung haben können. Was Sie tatsächlich tun müssen, ist es über die Richtungen zu integrieren, an denen Sie interessiert sind.

\int p (ω) d ω = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} p (θ, ϕ) d θ d ϕ = 1

$\int p(\omega)d\omega = \int_0^{2\pi}\int_0^\pi p(\theta, \phi)d\theta d\phi = 1$

Unabhängig davon, welche Darstellung Sie verwenden, muss das Integral über der Hemisphäre 1 sein, da es sich um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt.

Ich bin mir nicht sicher, ob ich das erklären muss oder ob Sie es bereits verstanden haben, aber hier ist der Ursprung des $sin(\theta)$ . Wenn Sie das Doppelintegral rechts ausführen, teilen Sie das Problem in eine Reihe von Ringen oder Scheiben der Einheitskugel auf. Jeder Ring hat eine Konstante $\theta$ während $\phi$ geht von $0$ zu $2\pi$ . Auch die Fläche jedes einzelnen Rings nimmt mit ab $\theta$ erhöht sich: Der Ring am Äquator ist riesig, während der letzte "Ring" am Pol winzig ist. Die Fläche nimmt ab als $sin(\theta)$ . Da wir möchten, dass jede Flächeneinheit der Kugel die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, benötigen wir die kleineren Ringe, um einen kleineren Anteil der Wahrscheinlichkeit zu erhalten.

Wie Florian R. erklärt, können Sie dies tun, indem Sie die $sin(\theta)$ Faktor in das Integral, oder Sie können es in die Definition von setzen $p(\theta, \phi)$ wie das Buch.

— Dan Hulme
quelle

In Ihrer Gleichung transformieren Sie von der Integration in kartesische Koordinaten zur Integration in Kugelkoordinaten. Sollten Sie dort nicht sin (ϕ) hinzufügen , um diese Koordinatentransformation zu berücksichtigen? Alternativ könnten Sie p (θ, ϕ) = sin (ϕ) p (sin (ϕ) cos (θ), sin (ϕ) sin (θ), cos (ϕ)) definieren , aber ich denke, es wird klarer wenn der sin (ϕ) -Faktor von p (θ, ϕ) verschieden ist .

— Florian R.

@FlorianR. Die Frage beschreibt bereits, dass sin (θ) innerhalb von p (θ, ϕ) liegt . Der Fragesteller schien keine Probleme damit zu haben und es ist ein Nebenproblem, also habe ich nicht wirklich darauf geachtet.

— Dan Hulme

@Yoo Vielmehr ist die Transformation von der Integration über ω zur Integration über θ und ϕ die Transformation von der Integration in kartesisch zur Integration in sphärische Koordinaten. Während Sie bereits p (ω) = sin (θ) p (θ, ϕ) definieren , möchte ich p lieber überhaupt nicht ändern , indem ich ω = (sin (ϕ) cos (θ), sin (ϕ) sin (θ) verwende ), cos (ϕ)) und unter Verwendung von dω = sin (θ) dθdϕ . Ich denke, das sollte klar machen, dass p gleich bleibt, wir transformieren nur das Koordinatensystem der Integration. Dies ist jedoch subjektiv, und wenn Sie p neu definieren , um sin (θ) wie Sie einzuschließen, ist die resultierende Gleichung genau dieselbe.

— Florian R.

@ Yoo Ah, es tut mir leid. Dan hat gerade eine Erklärung hinzugefügt. Um Ihnen die Visualisierung zu erleichtern, stellen Sie sich eine Karte mit Längen- und Breitengrad vor . Der Südpol erscheint riesig, und wenn Sie etwas entlang des Breiten- und Längengrads integrieren würden, wären die Pole überrepräsentiert. Der sin (θ) -Faktor beseitigt diese Vorspannung zu den Polen. Möglicherweise möchten Sie auch die Integration durch Ersetzen des allgemeinen Falls nachlesen.

— Florian R.

Das wäre im Allgemeinen nicht wahr, aber es ist hier wahr, weil die Verteilung zusätzlich eingeschränkt ist. Jede Wahrscheinlichkeitsverteilung muss auf 1 integriert werden, aber diese hat auch überall den gleichen Wert. (Oder anders ausgedrückt, die beiden Integrale müssen für jede Region, über die Sie integrieren , gleich sein .)

— Dan Hulme