Warum ist ein BRDF kein Strahlungsverhältnis?

Ich lerne etwas über BRDFs und frage mich, warum das BRDF als das Verhältnis von ausgehender Strahlung zu einer bestimmten Richtung und eingehender Strahlung aus einer anderen Richtung definiert ist. Warum ist der BRDF nicht als Strahlungsverhältnis definiert?

brdf

— PeteUK
quelle

Ich würde eine Antwort schreiben, wenn ich Zeit hätte, aber auf prägnante Weise: wegen der Definition. Grob gesagt misst die Strahlung das AUSGANGSLICHT in eine bestimmte Richtung (oder besser: Strahlungsfluss pro Raumwinkel). Die Bestrahlungsstärke EINGEHENDES Licht aus einer bestimmten Richtung (oder besser ein pro Flächeneinheit empfangener Strahlungsfluss. BRDF beschreibt das Verhältnis von ausgehendem Licht zu einfallendem Licht

— cifz

Die kurze Antwort lautet: "Weil es dann nicht bidirektional wäre" . Es ist schon eine Weile her, aber ich glaube, dass meine alternative Formulierung der Rendering-Gleichung eine 1: 1-Reflexionsfunktion verwendet.

— Imallett

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, diese Frage zu beantworten: einen algebraischen und einen geometrischen Weg.

Algebraisch können wir die Einheiten identifizieren, die das BRDF haben muss, indem wir seinen Platz in der Rendering-Gleichung betrachten. Die klassische Rendering-Gleichung lautet:

L_{outgoing} (ω) = L_{emitted} (ω) + \int_{Ω} L_{incoming} (ω^{'}) f_{BRDF} (ω, ω^{'}) (n \cdot ω^{'}) d ω^{'}

$L_\text{outgoing}(\omega) = L_\text{emitted}(\omega) + \int_\Omega L_\text{incoming}(\omega') \, f_\text{BRDF}(\omega, \omega') \, (n \cdot \omega') \, d\omega'$

$d\omega'$ $n \cdot \omega'$

Ein anderer Weg, dies zu sehen, ist, dass der BRDF eine ähnliche Rolle wie eine Wahrscheinlichkeitsdichte spielt. Wenn Sie sich ansehen, wie Wahrscheinlichkeitsdichten funktionieren, haben sie Einheiten, die umgekehrt zum Volumen ihrer Domäne sind. Beispielsweise hat eine 1D-Wahrscheinlichkeitsdichte Einheiten der inversen Länge (Wahrscheinlichkeit pro Längeneinheit, aber die Wahrscheinlichkeit selbst ist dimensionslos), eine 2D-Einheit hat Einheiten der inversen Fläche und so weiter. Das BRDF verhält sich ähnlich wie eine auf der Hemisphäre definierte Wahrscheinlichkeitsdichte, die eine Wahrscheinlichkeit ergibt, dass ein aus einer bestimmten Richtung eintretendes Photon in eine andere Richtung reflektiert wird. Wie jede andere Wahrscheinlichkeitsdichte in einer sphärischen Domäne hat sie Einheiten des inversen Raumwinkels.

$dL$

d L = L_{incoming} f_{BRDF} (n \cdot ω^{'}) d ω^{'}

$dL = L_\text{incoming} \, f_\text{BRDF} \, (n \cdot \omega') \, d\omega'$

$L_\text{incoming} \, (n \cdot \omega') \, d\omega'$ $d\omega'$ $dE$

d L = f_{BRDF} d E

$dL = f_\text{BRDF} \, dE$

oder

f_{BRDF} = \frac{d L}{d E}

$f_\text{BRDF} = \frac{dL}{dE}$

Das BRDF wirkt also als Proportionalitätskonstante zwischen der infinitesimalen Bestrahlungsstärke, die aus einem infinitesimalen Raumwinkel an der Oberfläche ankommt, und der dadurch erzeugten infinitesimalen ausgehenden Strahlung. Es kann kein Verhältnis der Strahlungsdichten sein, da wir eine endliche eingehende Strahlungsdichte haben und eine infinitesimale ausgehende Strahlungsdichte benötigen, wenn wir viele Teile des Integrals zusammenfassen und ein endliches Ergebnis erhalten möchten. Um dies zu erreichen, müsste das BRDF einen infinitesimalen Wert haben, was in der Standardmathematik ... keine Sache ist. :) :)

Ich hoffe, dass etwas davon hilft. Es gibt eine Vielzahl gleichwertiger Möglichkeiten, dieses Problem zu betrachten, wie bei so vielen Dingen in Mathematik und Physik.

— Nathan Reed
quelle

Ihre Erklärung gefällt mir sehr gut. Ich bekomme die Argumente, dass es in BRDF den inversen Raumwinkelfaktor geben muss, aber was ist mit dem Kosinusfaktor? Wenn wir den Kosinus-Term aus BRDF streichen könnten, könnten wir ihn fallen lassen, wenn wir das Integral in der Rendering-Gleichung entfernen würden, nicht wahr? Der einzige Grund, den ich sehen kann, ist in der korrekten / aktuellen Formulierung, dass der Nenner als Bestrahlungsstärke angesehen werden kann ...

— ciechowoj