NURBS-Topologieklassifizierung

Inwiefern kann eine NURBS-Oberfläche nur die Topologie einer Ebene, eines Zylinders oder eines Torus haben?

Zum Beispiel kann ich eine NURBS-Kugel machen.

Ist die Kugel homöomorph zu einer der oben genannten Oberflächen?

Bevor wir beginnen, lassen Sie uns zwei Dinge unterscheiden:

• Die Form einer Kugel,
• und die Topologie einer Kugel.

Eine NURBS-Oberfläche kann die Form einer Kugel annehmen . In einer typischen Konfiguration ist es an den Polen "offen". Das heißt, die mathematische Funktion der Oberfläche wickelt sich nicht über den Pol, da es sich nicht um eine echte Kugel handelt (sie hat die Form einer Kugel). Topologisch ist die Kugel in dieser typischen Konfiguration ein Zylinder.

Es ist auch möglich, die andere Richtung offen zu lassen. In diesem Fall handelt es sich topologisch um eine Ebene. Mehrere CAD-Anwendungen wählen diesen Ansatz. Ein Torus ist auch möglich, wenn Sie ein dünnes Band ohne Volumen in der Mitte Ihrer Kugel zulassen.

Bild 1 : Zylinder in Kugel verwandeln. Beachten Sie, dass dies keine topologische Kugel ist, sondern immer noch ein Zylinder, da die Oberseite offen ist (obwohl sie unendlich klein ist).

Ist die Kugel homöomorph zu einer der oben genannten Oberflächen?

Nein, aber Sie können immer noch eine Kugelform haben, auch wenn sie die Topologiebedingung der Mathematik nicht erfüllt.

Warum nur 3 topologische Familien?

Eine NURBS-Oberfläche hat einfach nur 4 mögliche Konfigurationen für das Umschließen des Parameterraums:

• Es wickelt sich überhaupt nicht. Topologie: Ebene.
• Es wickelt sich um die U-Richtung. Topologie: Zylinder.
• Es wickelt sich um die V-Richtung. Das gleiche wie oben. Topologie: Zylinder.
• Es wickelt sich sowohl um U als auch um V. Topologie: Torus.

Ein Wrap ist immer periodisch und geht von - Richtung nach + Richtung. Es kann nicht willkürlich verbunden werden (auf mathematischer Ebene).