Gibt es einen Satz, der besagt, dass in der Verteilung zu einer Normalen konvergiert, wenn gegen unendlich geht?

Sei eine beliebige Verteilung mit definiertem Mittelwert und Standardabweichung . Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass in der Verteilung zu einer Standardnormalverteilung konvergiert. Wenn wir durch die Stichprobenstandardabweichung ersetzen , gibt es einen Satz, der besagt, dass in der Verteilung zu einer t-Verteilung konvergiert? Da für große $X$ $\mu$ $\sigma$

\sqrt{n} \frac{\bar{X} - μ}{σ}

$\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma}$

σ

$\sigma$

S

$S$

\sqrt{n} \frac{\bar{X} - μ}{S}

$\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{S}$

n

$n$ Wenn sich eine t-Verteilung einer Normalverteilung nähert, kann der Satz, falls vorhanden, besagen, dass die Grenze eine Standardnormalverteilung ist. Daher scheint es mir, dass t-Verteilungen nicht sehr nützlich sind - dass sie nur dann nützlich sind, wenn ungefähr normal ist. Ist das der Fall?

X

$X$

Wenn es möglich ist, würden Sie Referenzen angeben, die einen Beweis für diese CLT enthalten, wenn durch ? Eine solche Referenz könnte vorzugsweise messungstheoretische Konzepte verwenden. Aber an diesem Punkt wäre alles großartig für mich. $\sigma$ $S$

— Esp Flo
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Eine Anwendung des Slutsky-Theorems, dessen Versionen manchmal als konvergierendes Lemma bezeichnet werden , zeigt, dass die Grenze Standardnormal ist.

— Kardinal

Um auf den Kommentar von @cardinal einzugehen, betrachten Sie eine iid-Stichprobe der Größe aus einer Zufallsvariablen mit einer gewissen Verteilung und endlichen Momenten, Mittelwert und Standardabweichung . Definieren Sie die Zufallsvariable $n$ $X$ $\mu$ $\sigma$

Z_{n} = \sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - μ)

$Z_n = \sqrt {n}\left(\bar X_n -\mu\right)$ Der grundlegende zentrale Grenzwertsatz besagt, dass

Z_{n} \to_{d} Z \sim N (0, σ^{2})

$Z_n \rightarrow_{d} Z \sim N(0,\sigma^2)$

Betrachten Sie nun die Zufallsvariable wobei die Standardabweichung der Stichprobe von . $Y_n = \frac 1{S_n}$ $S_n$ $X$

Die Stichprobe ist iid und daher schätzen Stichprobenmomente konsistent Populationsmomente. Damit

Y_{n} \to_{p} \frac{1}{σ}

$Y_n \rightarrow_{p} \frac 1{\sigma}$

Geben Sie @cardinal ein: Slutskys Theorem (oder Lemma) besagt unter anderem, dass wobei eine Konstante ist . Dies ist unser Fall so

{Z_{n} \to_{d} Z, Y_{n} \to_{p} c} \Rightarrow Z_{n} Y_{n} \to_{d} c Z

$\{Z_n \rightarrow_{d} Z, Y_n\rightarrow_{p} c\} \Rightarrow Z_nY_n\rightarrow_{d} cZ$

c

$c$

Z_{n} Y_{n} = \sqrt{n} \frac{\bar{X_{n}} - μ}{S_{n}} \to_{d} \frac{1}{σ} Z \sim N (0, 1)

$Z_nY_n = \sqrt{n}\frac{\bar{X_n} - \mu}{S_n}\rightarrow_{d} \frac 1{\sigma}Z \sim N(0,1)$

In Bezug auf die Nützlichkeit der Verteilung von Studenten erwähne ich nur, dass sie in ihren "traditionellen Verwendungen" im Zusammenhang mit statistischen Tests immer noch unverzichtbar ist, wenn die Stichprobengröße wirklich klein ist (und wir immer noch mit solchen Fällen konfrontiert sind), aber auch, dass dies der Fall ist wurden in großem Umfang auf autoregressive Modellreihen mit (bedingter) Heteroskedastizität angewendet, insbesondere im Kontext der Finanzökonometrie, wo solche Daten häufig auftreten.

— Alecos Papadopoulos
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+1, immer schön zu sehen, wenn Antworten auf theoretische Fragen mit ihrer Nützlichkeit in der Praxis zusammenhängen

— Andy

@ Andy Ich stimme zu, das ist das Ideal.

— Alecos Papadopoulos