Verteilung von Extremwerten

Wenn ein Artikel der Normalverteilung folgt, folgt der Durchschnitt auch der Normalverteilung. Was ist mit Minimum und Maximum?

Sie sollten sich die Bestellstatistik ansehen . Hier ist eine sehr kurze Übersicht.

Es sei eine Stichprobe der Größe die aus einer Population mit der Verteilungsfunktion und der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion . Definiere , wobei bezeichnet die Statistik ter Ordnung der Stichprobe , dh ihren -kleinsten Wert. n F f Y 1 = X ( 1 ) , … , Y r = X ( r ) , … , Y n = X ( n ) X ( r ) r X 1 , … X n$X_{1}, \ldots X_{n}$$n$$F$$f$$Y_{1}=X_{(1)}, \ldots, Y_{r} = X_{(r)}, \ldots, Y_{n}=X_{(n)}$$X_{(r)}$$r$$X_{1}, \ldots X_{n}$$r$

Es kann gezeigt werden, dass die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von ist$Y_{1}, \ldots, Y_{n}$

y 1 < y 2 < … < y n$f_{X_{(1)}, \ldots, X_{(n)}}(y_{1}, \ldots, y_{n}) = n! \prod_{i=1}^{n} f(y_{i})$ wenn und andernfalls .$y_{1} < y_{2} < \ldots < y_{n}$$0$

Durch die Integration der vorherigen Gleichung erhalten wir

$f_{X_{(r)}}(x) = \frac{n!}{(r - 1)! (n - r)!} f(x) (F(x))^{r-1} (1 - F(x))^{n - r}$

Insbesondere für das Minimum und das Maximum haben wir jeweils

$f_{X_{(1)}}(x) = n f(x) (1 - F(x))^{n-1}$

$f_{X_{(n)}}(x) = n f(x) (F(x))^{n - 1}$

Vielleicht möchten Sie auch die GEV-Verteilung (Generalized Extreme Value) nachlesen . Es zeigt sich, dass mit die (verschobene und skalierte) Verteilung des Maximalwertes der Stichprobe gegen einen der drei Sonderfälle der GEV-Verteilung konvergiert.$n\rightarrow\infty$

Die Summe der Gaußschen ist Gaußsch. Deshalb ist der Durchschnitt normal. Die Verteilung einer nichtlinearen Funktion von (endlich vielen) Gaußschen muss nicht Gaußsch sein und ist es normalerweise auch nicht. Dies ist der Fall bei der Maximalfunktion. Um das Maximum eines multivariaten Gaußschen zu erreichen, ist Hothorn ein guter Ausgangspunkt.