Warum geben die R-Funktionen 'princomp' und 'prcomp' unterschiedliche Eigenwerte an?

Sie können den Zehnkampf-Datensatz {FactoMineR} verwenden, um dies zu reproduzieren. Die Frage ist, warum sich die berechneten Eigenwerte von denen der Kovarianzmatrix unterscheiden.

Hier sind die Eigenwerte mit princomp:

> library(FactoMineR);data(decathlon)
> pr <- princomp(decathlon[1:10], cor=F)
> pr$sd^2
      Comp.1       Comp.2       Comp.3       Comp.4       Comp.5       Comp.6 
1.348073e+02 2.293556e+01 9.747263e+00 1.117215e+00 3.477705e-01 1.326819e-01 
      Comp.7       Comp.8       Comp.9      Comp.10 
6.208630e-02 4.938498e-02 2.504308e-02 4.908785e-03 

Und das gleiche mit PCA:

> res<-PCA(decathlon[1:10], scale.unit=FALSE, ncp=5, graph = FALSE)
> res$eig
          eigenvalue percentage of variance cumulative percentage of variance
comp 1  1.348073e+02           79.659589641                          79.65959
comp 2  2.293556e+01           13.552956464                          93.21255
comp 3  9.747263e+00            5.759799777                          98.97235
comp 4  1.117215e+00            0.660178830                          99.63252
comp 5  3.477705e-01            0.205502637                          99.83803
comp 6  1.326819e-01            0.078403653                          99.91643
comp 7  6.208630e-02            0.036687700                          99.95312
comp 8  4.938498e-02            0.029182305                          99.98230
comp 9  2.504308e-02            0.014798320                          99.99710
comp 10 4.908785e-03            0.002900673                         100.00000

Können Sie mir erklären, warum sich die direkt berechneten Eigenwerte von denen unterscheiden? (Die Eigenvektoren sind die gleichen):

> eigen(cov(decathlon[1:10]))$values
 [1] 1.381775e+02 2.350895e+01 9.990945e+00 1.145146e+00 3.564647e-01
 [6] 1.359989e-01 6.363846e-02 5.061961e-02 2.566916e-02 5.031505e-03

Die alternative prcompMethode liefert auch die gleichen Eigenwerte wie die direkte Berechnung:

> prc <- prcomp(decathlon[1:10])
> prc$sd^2
 [1] 1.381775e+02 2.350895e+01 9.990945e+00 1.145146e+00 3.564647e-01
 [6] 1.359989e-01 6.363846e-02 5.061961e-02 2.566916e-02 5.031505e-03

Warum tun PCA/ princompund prcompgibt verschiedene Eigenwerte?

Wie in den Kommentaren erwähnt, princompwird für den Divisor verwendet, aber für die direkte Berechnung mit beiden wird anstelle von .N - 1 $N$prcompcov$N-1$$N$

Dies wird sowohl im Detailabschnitt von erwähnt help(princomp):

Beachten Sie, dass die Standardberechnung den Divisor 'N' für die Kovarianzmatrix verwendet.

und der Detailbereich von help(prcomp):

Im Gegensatz dazu princompwerden Varianzen mit dem üblichen Divisor N - 1 berechnet.

Sie können dies auch in der Quelle sehen. Das folgende princompQuelltext- Snippet zeigt beispielsweise, dass ( ) als Nenner für die Berechnung verwendet wird .$N$n.obscv

else if (is.null(covmat)) {
    dn <- dim(z)
    if (dn[1L] < dn[2L]) 
        stop("'princomp' can only be used with more units than variables")
    covmat <- cov.wt(z)
    n.obs <- covmat$n.obs
    cv <- covmat$cov * (1 - 1/n.obs)
    cen <- covmat$center
}

Sie können diese Multiplikation vermeiden, indem Sie das covmatArgument anstelle des xArguments angeben.

princomp(covmat = cov(iris[,1:4]))$sd^2

Update bezüglich der PCA-Scores:

Sie können cor = TRUEin Ihrem Aufruf festlegen princomp, dass PCA für die Korrelationsmatrix (anstelle der Kovarianzmatrix) ausgeführt werden soll. Dies führt dazu princomp, dass die Daten bewertet werden, der Nenner wird jedoch weiterhin .$z$$N$

Als Ergebnis princomp(scale(data))$scoresund princomp(data, cor = TRUE)$scoreswird sich durch den Faktor .$\sqrt{(N-1)/N}$