Erwartete Anzahl von Verhältnissen zwischen Mädchen und Jungen

Beim Eignungstest für Vorstellungsgespräche für kritisches Denken bin ich auf eine Frage gestoßen. Es geht ungefähr so:

Die Republik Zorganian hat einige sehr merkwürdige Bräuche. Paare wünschen sich nur weibliche Kinder, da nur weibliche das Vermögen der Familie erben können. Wenn sie also ein männliches Kind haben, bekommen sie so lange mehr Kinder, bis sie ein Mädchen haben. Wenn sie ein Mädchen haben, hören sie auf, Kinder zu haben. Wie ist das Verhältnis von Mädchen zu Jungen in Zorgania?

Ich bin mit der Antwort des Fragestellers, die etwa 1: 1 ist, nicht einverstanden. Die Rechtfertigung war, dass jede Geburt immer eine 50% ige Chance hat, männlich oder weiblich zu sein.

Können Sie mich mit einer mathematisch überzeugenderen Antwort von überzeugen wenn die Anzahl der Mädchen und B die Anzahl der Jungen im Land ist?$\text{E}[G]:\text{E}[B]$$G$

Beginnen Sie ohne Kinder

Schritt wiederholen

{

Jedes Paar, das noch Kinder hat, hat ein Kind. Die Hälfte der Paare hat Männer und die Hälfte der Paare Frauen.

Die Paare, die Frauen haben, hören auf, Kinder zu haben

}

Bei jedem Schritt erhalten Sie eine gerade Anzahl von Männern und Frauen, und die Anzahl der Paare mit Kindern reduziert sich um die Hälfte (dh diejenigen, die Frauen hatten, haben im nächsten Schritt keine Kinder).

Sie haben also zu jeder Zeit die gleiche Anzahl von Männern und Frauen und von Schritt zu Schritt sinkt die Anzahl der Paare mit Kindern um die Hälfte. Wenn mehr Paare geschaffen werden, tritt die gleiche Situation wieder auf und alle anderen Dinge sind gleich, wird die Bevölkerung die gleiche Anzahl von Männern und Frauen enthalten

Sei die Anzahl der Jungen in einer Familie. Sobald sie ein Mädchen haben, hören sie damit auf$X$

$$\begin{array}{| l |l | } \hline X=0 & \text{if the first child was a girl}\\ X=1 & \text{if the first child was a boy and the second was a girl}\\ X=2 & \text{if the first two children were boys and the third was a girl}\\ \text{and so on}\ldots &\\ \hline \end{array}$$

Wenn die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Kind ein Junge ist, und wenn die Geschlechter von den Kindern unabhängig sind, ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Familie Jungen hat, dh die Wahrscheinlichkeit, Jungen und dann ein Mädchen zu haben. Die erwartete Anzahl der Jungen ist Man beachte, dass wir erhalten k P ( X = k ) = p k ⋅ ( 1 - p ) , k E X = ∞ & Sigma; k = 0 k P k ⋅ ( 1 - p ) = ∞ & Sigma; k = 0 k P k - ∞ & Sigma; k = 0 k p k + 1 . ∞ ∑ k $p$$k$

$$\mbox{P}(X=k)=p^{k}\cdot (1-p),$$ $k$ $$\operatorname{E}X=\sum_{k=0}^\infty kp^k \cdot (1-p)=\sum_{k=0}^\infty kp^k-\sum_{k=0}^\infty kp^{k+1}.$$ ∞ & Sigma; k = 0 kPk- ∞ & Sigma; k = 0 kP k + 1 = ∞ & Sigma; k = 0 (k+1)p k + 1 - ∞ ∑ k = 0 k $$\sum_{k=0}^\infty kp^k=\sum_{k=0}^\infty (k+1)p^{k+1}$$ & Sigma; ∞ k = 0 pk=1/(1-p)0<p< $$\sum_{k=0}^\infty kp^k-\sum_{k=0}^\infty kp^{k+1}=\sum_{k=0}^\infty (k+1)p^{k+1}-\sum_{k=0}^\infty kp^{k+1}=\sum_{k=0}^\infty p^{k+1}=p\sum_{k=0}^\infty p^{k}=\frac{p}{1-p}$$ wobei wir wenn (siehe geometrische Reihe ).$\sum_{k=0}^\infty p^k=1/(1-p)$$0<p<1$

Wenn , haben wir den . Das heißt, die durchschnittliche Familie hat 1 Jungen. Wir wissen bereits, dass alle Familien 1 Mädchen haben, daher wird das Verhältnis mit der Zeit gleich 1/1 .E X = 0,5 / 0,5 1 / 1 = $p=1/2$$\operatorname{E}X=0.5/0.5$$1/1=1$

Die Zufallsvariable ist als geometrische Zufallsvariable bekannt .$X$

Zusammenfassung

Das einfache Modell, dass alle Geburten unabhängig voneinander eine 50% ige Wahrscheinlichkeit haben, Mädchen zu sein, ist unrealistisch und, wie sich herausstellt, außergewöhnlich. Sobald wir die Konsequenzen unterschiedlicher Ergebnisse in der Bevölkerung betrachten, lautet die Antwort, dass das Verhältnis von Mädchen zu Jungen ein beliebiger Wert sein kann, der 1: 1 nicht überschreitet. (In Wirklichkeit wäre es wahrscheinlich immer noch nahe 1: 1, aber das muss von der Datenanalyse bestimmt werden.)

Da diese beiden widersprüchlichen Antworten unter der Annahme einer statistischen Unabhängigkeit der Geburtsergebnisse erzielt werden, ist ein Aufruf zur Unabhängigkeit keine ausreichende Erklärung. Daher scheint die Variation (in Bezug auf die Wahrscheinlichkeit weiblicher Geburten) die Schlüsselidee hinter dem Paradoxon zu sein.

Einführung

Ein Paradoxon liegt vor, wenn wir der Meinung sind, dass wir gute Gründe haben, etwas zu glauben, aber mit einem soliden gegenteiligen Argument konfrontiert sind.

Eine zufriedenstellende Lösung eines Paradoxons hilft uns zu verstehen, was an beiden Argumenten richtig war und was falsch gewesen sein könnte . Wie es bei Wahrscheinlichkeit und Statistik häufig der Fall ist, können beide Argumente tatsächlich gültig sein: Die Auflösung hängt von Unterschieden zwischen implizit getroffenen Annahmen ab . Der Vergleich dieser verschiedenen Annahmen kann uns dabei helfen, herauszufinden, welche Aspekte der Situation zu unterschiedlichen Antworten führen. Ich behaupte, diese Aspekte zu identifizieren, ist das, was wir am meisten schätzen sollten.

Annahmen

Wie aus allen bisher veröffentlichten Antworten hervorgeht, ist davon auszugehen, dass Geburten von Frauen unabhängig voneinander und mit einer konstanten Wahrscheinlichkeit von . Es ist allgemein bekannt, dass keine der beiden Annahmen tatsächlich zutrifft, aber es scheint, dass geringfügige Abweichungen von diesen Annahmen die Antwort nicht wesentlich beeinflussen sollten. Lass uns sehen. Betrachten Sie zu diesem Zweck das folgende allgemeinere und realistischere Modell:$1/2$

1. In jeder Familie die Wahrscheinlichkeit einer weiblichen Geburt eine konstante , unabhängig von der Geburtsordnung.$i$$p_i$

2. In Ermangelung einer Stoppregel sollte die erwartete Anzahl weiblicher Geburten in der Bevölkerung in der Nähe der erwarteten Anzahl männlicher Geburten liegen.

3. Alle Geburtsergebnisse sind (statistisch) unabhängig.

Dies ist immer noch kein vollständig realistisches Modell menschlicher Geburten, bei dem der mit dem Alter der Eltern (insbesondere der Mutter) variieren kann. Es ist jedoch hinreichend realistisch und flexibel, um eine zufriedenstellende Auflösung des Paradoxons bereitzustellen, das auch für allgemeinere Modelle gelten wird.$p_i$

Analyse

Obwohl es interessant ist, eine gründliche Analyse dieses Modells durchzuführen, werden die wichtigsten Punkte auch dann deutlich, wenn eine bestimmte, einfache (aber etwas extreme) Version betrachtet wird. Angenommen, die Bevölkerung hat Familien. In der Hälfte dieser Fälle beträgt die Wahrscheinlichkeit einer weiblichen Geburt und in der anderen Hälfte beträgt die Wahrscheinlichkeit einer weiblichen Geburt . Dies erfüllt eindeutig die Bedingung (2): Die erwartete Anzahl weiblicher und männlicher Geburten ist gleich.$2N$$2/3$$1/3$

Betrachten Sie diese ersten Familien. Lassen Sie uns über die Erwartungen nachdenken und verstehen, dass die tatsächlichen Ergebnisse zufällig sind und daher ein wenig von den Erwartungen abweichen. (Die Idee hinter der folgenden Analyse wurde in der ursprünglichen Antwort, die ganz am Ende dieses Beitrags erscheint, kurz und einfach wiedergegeben.)$N$

Sei die erwartete Anzahl weiblicher Geburten in einer Population von mit konstanter weiblicher Geburtswahrscheinlichkeit . Offensichtlich ist dies proportional zu und so kann geschrieben werden . Ebenso sei die erwartete Anzahl männlicher Geburten.$f(N,p)$$N$$p$$N$$f(N,p) = f(p)N$$m(p)N$

• Die ersten Familien bringen ein Mädchen zur Welt und hören auf. Die anderen Familien zeugen einen Jungen und gebären weiterhin Kinder. Das sind Girls und Boys.$pN$$(1-p)N$$pN$$(1-p)N$

• Die verbleibenden Familien befinden sich in derselben Position wie zuvor:$(1-p)N$ Die Annahme der Unabhängigkeit (3) impliziert, dass das, was sie in Zukunft erleben, nicht durch die Tatsache beeinflusst wird, dass ihr Erstgeborener ein Sohn war. Somit werden diese Familien mehr Mädchen und mehr Jungen hervorbringen .$f(p)[(1-p)N]$$m(p)[(1-p)N]$

Addiert man die Gesamtzahl der Mädchen und Jungen und vergleicht sie mit ihren angenommenen Werten von und erhält man Gleichungen$f(p)N$$m(p)N$

$$f(p)N = pN + f(p)(1-p)N\ \text{ and }\ m(p)N = (1-p)N + m(p)(1-p)N$$

mit Lösungen

$$f(p) = 1\ \text{ and }\ m(p) = \frac{1}{p}-1.$$

Die erwartete Anzahl von Mädchen in den ersten Familien mit ist daher und die erwartete Anzahl von Jungen ist .$N$$p=2/3$$f(2/3)N = N$$m(2/3)N = N/2$

Die erwartete Anzahl von Mädchen in der zweiten Familie mit beträgt daher und die erwartete Anzahl von Jungen beträgt .$N$$p=1/3$$f(1/3)N = N$$m(1/3)N = 2N$

Die Summen sind Mädchen und Jungen. Für große das erwartete Verhältnis in der Nähe des Verhältnisses der Erwartungen.$(1+1)N = 2N$$(1/2+2)N = (5/2)N$$N$

$$\mathbb{E}\left(\frac{\text{# girls}}{\text{# boys}}\right) \approx \frac{2N}{(5/2)N} = \frac{4}{5}.$$

Die Stopp-Regel begünstigt Jungen!

Im Allgemeinen gelten weiterhin die Bedingungen (1) bis (3) und das erwartete Verhältnis für große Ansätze , wenn die Hälfte der Familien unabhängig voneinander Mädchen mit der Wahrscheinlichkeit und die andere Hälfte Jungen mit der Wahrscheinlichkeit trägt$p$$1-p$$N$

$$\frac{2p(1-p)}{1 - 2p(1-p)}.$$

Abhängig von , das natürlich zwischen und , kann dieser Wert irgendwo zwischen und (aber niemals größer als ). Es erreicht sein Maximum von nur, wenn . Mit anderen Worten, ein erwartetes Verhältnis von Mädchen zu Jungen von 1: 1 ist eine besondere Ausnahme von der allgemeineren und realistischeren Regel, dass das Stoppen mit dem ersten Mädchen mehr Jungen in der Bevölkerung begünstigt.$p$$0$$1$$0$$1$$1$$1$$p=1/2$

Auflösung

Wenn Ihre Intuition ist, dass das Stoppen mit dem ersten Mädchen mehr Jungen in der Bevölkerung hervorbringen sollte , dann sind Sie richtig, wie dieses Beispiel zeigt. Um korrekt zu sein, müssen Sie lediglich sicherstellen, dass die Wahrscheinlichkeit, ein Mädchen zur Welt zu bringen, in den Familien unterschiedlich ist (auch nur geringfügig).

Die "offizielle" Antwort, dass das Verhältnis in der Nähe von 1: 1 liegen sollte, erfordert mehrere unrealistische Annahmen und ist für diese sensibel: Es wird angenommen, dass es keine Unterschiede zwischen den Familien geben kann und dass alle Geburten unabhängig voneinander sein müssen.

Bemerkungen

Die Kernidee dieser Analyse ist, dass Variationen innerhalb der Bevölkerung wichtige Konsequenzen haben. Unabhängigkeit der Geburten - obwohl es sich um eine vereinfachenden Annahme für jede Analyse in diesem Thread verwendet - ist nicht das Paradox lösen, weil (abhängig von den anderen Annahmen) es im Einklang sowohl mit der offiziellen Antwort und ihr Gegenteil ist.

Es ist jedoch zu beachten, dass das erwartete Verhältnis wesentlich von 1: 1 abweichen kann, wenn wir eine große Variation unter den in der Population benötigen . Wenn alle beispielsweise zwischen 0,45 und 0,55 liegen, sind die Auswirkungen dieser Variation nicht sehr auffällig. Die Beantwortung dieser Frage, was die in einer menschlichen Population wirklich sind, erfordert einen ziemlich großen und genauen Datensatz. Man könnte ein verallgemeinertes lineares Mischmodell verwenden und auf Überdispersion testen .$p_i$$p_i$$p_i$

Wenn wir das Geschlecht durch eine andere genetische Expression ersetzen, erhalten wir eine einfache statistische Erklärung der natürlichen Selektion : Eine Regel, die die Anzahl der Nachkommen basierend auf ihrer genetischen Veranlagung unterschiedlich begrenzt, kann die Proportionen dieser Gene in der nächsten Generation systematisch verändern. Wenn das Gen nicht geschlechtsgebunden ist, wird sogar ein geringer Effekt über mehrere Generationen multiplikativ verbreitet und kann schnell stark vergrößert werden.

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Ursprüngliche Antwort

Jedes Kind hat eine Geburtsordnung: Erstgeboren, Zweitgeboren und so weiter.

Unter der Annahme gleicher Geburtswahrscheinlichkeiten von Männern und Frauen und keiner Korrelation zwischen den Geschlechtern wird nach dem schwachen Gesetz der großen Zahlen ein Verhältnis von erstgeborenen Frauen zu Männern von nahezu 1: 1 angenommen . Aus dem gleichen Grund wird es ein Verhältnis von 1: 1 zwischen zweitgeborenen Frauen und Männern geben, und so weiter. Da diese Verhältnisse konstant 1: 1 sind, muss das Gesamtverhältnis auch 1: 1 betragen, unabhängig davon, wie häufig die Geburtenordnungen in der Bevölkerung sind.

Die Geburt jedes Kindes ist ein unabhängiges Ereignis mit P = 0,5 für einen Jungen und P = 0,5 für ein Mädchen. Die anderen Details (wie die Familienentscheidungen) lenken Sie nur von dieser Tatsache ab. Die Antwort lautet also, dass das Verhältnis 1: 1 ist .

Um dies zu erläutern: Stellen Sie sich vor, Sie werfen keine Kinder, sondern eine schöne Münze (P (Köpfe) = 0,5), bis Sie einen "Kopf" erhalten. Sagen wir, Familie A wirft die Münze und erhält die Folge von [Schwänzen, Schwänzen, Köpfen]. Dann wirft Familie B die Münze und bekommt einen Schwanz. Nun, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der nächste Kopf kommt? Immer noch 0,5 , denn das bedeutet unabhängig . Wenn Sie dies mit 1000 Familien machen würden (was bedeutet, dass 1000 Köpfe auftauchten), wäre die erwartete Gesamtzahl der Schwänze 1000, da jeder Schlag (Ereignis) völlig unabhängig war.

Einige Dinge sind nicht unabhängig, wie zum Beispiel die Reihenfolge innerhalb einer Familie: Die Wahrscheinlichkeit der Reihenfolge [Köpfe, Köpfe] ist 0, ungleich [Schwänze, Schwänze] (0,25). Aber da die Frage nicht danach fragt, ist es irrelevant.

Stellen Sie sich vor, Sie werfen eine schöne Münze, bis Sie einen Kopf sehen. Wie viele Schwänze wirfst du?

$P(0 \text{ tails}) = \frac{1}{2}, P(1 \text{ tail}) = (\frac{1}{2})^2, P(2 \text{ tails}) = (\frac{1}{2})^3, ...$

Die erwartete Anzahl von Schwänzen wird leicht mit 1 berechnet *.

Die Anzahl der Köpfe beträgt immer 1.

* Wenn Sie nicht klar ist, siehe ‚Umriss Beweis‘ hier

Am häufigsten sind Paare mit genau einem Mädchen und keinem Jungen

Der Grund dafür ist, dass die Wahrscheinlichkeit eines Szenarios, in dem es mehr Mädchen gibt, viel größer ist als in den Szenarios, in denen es mehr Jungen gibt. Und die Szenarien, in denen es viel mehr Jungen gibt, haben sehr niedrige Wahrscheinlichkeiten. Die genaue Funktionsweise ist unten dargestellt

NumberOfChilden Probability  Girls   Boys  
1               0.5           1       0  
2               0.25          1       1  
3               0.125         1       2  
4               0.0625        1       3  
...             ...           ...     ...  

NumberOfChilden Probability   Girls*probabilty   Boys*probabilty 
1               0.5           0.5                0
2               0.25          0.25               0.25
3               0.125         0.125              0.25
4               0.0625        0.0625             0.1875
5               0.03125       0.03125            0.125
...             ...           ...                ...  
n               1/2^n         1/(2^n)            (n-1)/(2^n)

Sie können ziemlich genau sehen, wohin dies zu diesem Zeitpunkt geht, die Summe der Mädchen und Jungen wird sich zu eins summieren.

Erwartete Mädchen von einem Paar Erwartete Jungen von einem Paar${}=\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{2^n})=1$
${}=\sum_{n=1}^\infty(\frac{n-1}{n^2})=1$

^{Begrenzen Sie die Lösungen von wolfram}

Jede Geburt, in welcher Familie auch immer, hat eine 50: 50-Chance, ein Junge oder ein Mädchen zu sein

Dies alles ist von Natur aus sinnvoll, da Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Geburt ein Junge oder ein Mädchen ist, nicht kontrollieren können (versuchen Sie es als Paar). Es spielt keine Rolle, ob ein Kind einem Paar ohne Kinder oder einer Familie mit hundert Jungen geboren wird; Die Chance ist 50:50. Wenn also jede einzelne Geburt eine 50:50 Chance hat, sollten Sie immer die Hälfte der Jungen und die Hälfte der Mädchen bekommen. Und es spielt keine Rolle, wie Sie die Geburten zwischen den Familien mischen; Sie werden das nicht beeinflussen.

Dies funktioniert für jede ^1- Regel

Aufgrund der 50: 50-Chance für jede Geburt ergibt sich ein Verhältnis von 1: 1 für jede (vernünftige ¹ ) Regel, die Sie aufstellen können. Zum Beispiel funktioniert die folgende ähnliche Regel auch gerade

Paare haben keine Kinder mehr, wenn sie ein Mädchen oder zwei Kinder haben

NumberOfChilden Probability   Girls   Boys
1               0.5           1       0
2               0.25          1       1
2               0.25          0       2

In diesem Fall lässt sich die Summe der erwarteten Kinder leichter berechnen

Erwartete Mädchen von einem Paar Erwartete Jungen von einem Paar${}=0.5\cdot1 + 0.25\cdot1 =0.75$
${}=0.25\cdot1 + 0.25\cdot2 =0.75$

¹ Wie ich bereits sagte, funktioniert dies für jede vernünftige Regel, die in der realen Welt existieren könnte. Eine unvernünftige Regel wäre eine, bei der die erwarteten Kinder pro Paar unendlich sind. Beispiel: "Eltern hören erst auf, Kinder zu haben, wenn sie doppelt so viele Jungen wie Mädchen haben". Wir können die gleichen Techniken wie oben anwenden, um zu zeigen, dass diese Regel unendlich viele Kinder ergibt:

NumberOfChilden Probability   Girls   Boys
3               0.125         1       2
6               1/64          2       4
9               1/512         3       6
3*m             1/((3m)^2     m       2m

Wir können dann die Anzahl der Eltern mit einer begrenzten Anzahl von Kindern finden

Erwartete Anzahl von Eltern mit endlichen Kindern${}=\sum_{m=1}^\infty(\frac{1}{1/(3m)^2})=\frac{\pi^2}{54}=0.18277\ldots.$

^{Begrenzen Sie die Lösungen von wolfram}

So können wir feststellen, dass 82% der Eltern eine unendliche Anzahl von Kindern haben würden; Aus städtebaulicher Sicht würde dies wahrscheinlich zu Schwierigkeiten führen und zeigt, dass dieser Zustand in der realen Welt nicht existieren kann.

Sie können auch die Simulation verwenden:

p<-0
for (i in 1:10000){
  a<-0
  while(a != 1){   #Stops when having a girl
    a<-as.numeric(rbinom(1, 1, 0.5))   #Simulation of a new birth with probability 0.5
    p=p+1   #Number of births
  }
}
(p-10000)/10000   #Ratio

Durch das Auswerten konnte ich besser erkennen, wie das Verhältnis der geborenen Bevölkerung (angenommen 1: 1) und das Verhältnis der Kinderpopulation beide 1: 1 betragen würden. Während einige Familien mehrere Jungen, aber nur ein Mädchen haben würden, was mich anfänglich zu der Annahme veranlasste, dass es mehr Jungen als Mädchen geben würde, würde die Anzahl dieser Familien nicht mehr als 50% betragen und sich mit jedem weiteren Kind um die Hälfte verringern, während die Die Anzahl der Ein-Mädchen-Familien würde 50% betragen. Die Anzahl der Jungen und Mädchen würde sich somit ausgleichen. Sehen Sie sich die Summen von 175 unten an.

Was Sie bekommen haben, war die einfachste und die richtige Antwort. Wenn die Wahrscheinlichkeit, dass ein Neugeborenes ein Junge ist, p ist und Kinder des falschen Geschlechts nicht durch unglückliche Unfälle getroffen werden, spielt es keine Rolle, ob die Eltern aufgrund des Geschlechts des Kindes entscheiden, ob sie mehr Kinder haben. Wenn die Anzahl der Kinder N und N groß ist, können Sie mit etwa p * N Jungen rechnen. Eine kompliziertere Berechnung ist nicht erforderlich.

Es gibt sicherlich andere Fragen, wie "Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das jüngste Kind einer Familie mit Kindern ein Junge ist" oder "wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das älteste Kind einer Familie mit Kindern ein Junge ist". (Einer hat eine einfache richtige Antwort, der andere hat eine einfache falsche Antwort und es ist schwierig, eine richtige Antwort zu bekommen).

Lassen

$\text{$\Omega$={(G),(B,G),(B,B,G),$\dots$}}$

sei der Probenraum und lass

$\text{X: $\Omega\longrightarrow\mathbb{R}$; $\omega\mapsto\vert\omega\vert$-1}$

Sei die Zufallsvariable, die jedes Ergebnis, , auf die Anzahl der Jungen abbildet . Der Erwartungswert von Jungen, , ergibt sich dann zu $\omega$$\text{E(X)}$

$\text{E(X)=$\sum_{n=1}^\infty(\text{n-1})\cdot0.5^n$=1}$ ,

Trivialerweise ist der erwartete Wert von Mädchen 1. Das Verhältnis ist also auch 1.

Es ist eine Trickfrage. Das Verhältnis bleibt gleich (1: 1). Die richtige Antwort ist, dass es die Geburtenrate nicht beeinflusst, aber die Anzahl der Kinder pro Familie mit einem begrenzenden Faktor von durchschnittlich 2 Geburten pro Familie.

Dies ist die Art von Frage, die Sie bei einem Logiktest finden können. Bei der Antwort geht es nicht um die Geburtenrate. Das ist eine Ablenkung.

Dies ist keine Wahrscheinlichkeitsfrage, sondern eine Frage des kognitiven Denkens. Auch wenn Sie mit 1: 1 geantwortet haben, haben Sie den Test nicht bestanden.

Ich zeige den Code, den ich für eine Monte-Carlo-Simulation (500x1000 Familien) mit der MATLAB-Software geschrieben habe. Bitte überprüfen Sie den Code, damit ich keinen Fehler gemacht habe.

Das Ergebnis wird unten generiert und grafisch dargestellt. Es zeigt, dass die simulierte Wahrscheinlichkeit der Geburt eines Mädchens sehr gut mit der zugrunde liegenden natürlichen Geburtswahrscheinlichkeit übereinstimmt, unabhängig von der Abbruchregel für einen Bereich natürlicher Geburtswahrscheinlichkeiten.

Wenn man mit dem Code herumspielt, ist es einfacher, einen Punkt zu verstehen, den ich vorher nicht ganz getan habe - wie der andere betont, ist die Stopp-Regel eine Ablenkung. Die Abbruchregel betrifft nur die Anzahl der Familien bei fester Bevölkerungszahl oder aus einer anderen Sicht die Anzahl der Geburten bei fester Familienzahl. Das Geschlecht wird ausschließlich durch das Würfeln bestimmt, und daher hängt das Verhältnis oder die Wahrscheinlichkeit (unabhängig von der Anzahl der Kinder) ausschließlich vom natürlichen Verhältnis der Jungen zu Mädchen ab.

testRange=0.45:0.01:0.55;
N=uint32(100000); %Used to approximate probability distribution
M=1000; %Number of families
L=500; %Monte Carlo repetitions
Nfamily=zeros(length(testRange),1);
boys=zeros(length(testRange),1);
girls=zeros(length(testRange),1);
for l = 1:L
    j=1; %Index variable for the different bgratio
    for bgratio=testRange
    k=1; %Index variable for family in each run (temp family id)
    vec=zeros(N,1);
    vec(1:N*bgratio,1)=1; %Approximate boy:girl population for dice roll, 
    %1 = boy

    vec=vec(randperm(s,N)); %Random permutation, technically not necessary 
    %due to randi used later, just be safe
    bog = vec(randi(N)); %boy or girl? (God's dice roll)

    while k<M %For M families...
        if bog == 1 %if boy:
            boys(j) = boys(j)+1; %total global boys tally
        else
            girls(j)=girls(j)+1; %total global girls tally
            %Family stops bearing children
            Nfamily(j) = Nfamily(j)+1; %total global family tally
            k=k+1; %temp family id
            %Next family...
        end
        bog=vec(randi(N)); %Sample next gender (God's dice roll)
    end

    j=j+1; %Index variable for the different bgratio
    end
end
figure;
scatter(testRange,girls./(boys+girls))
hold on
line([0 1],[0 1],'LineStyle','--','Color','k')
axis([0.44 0.56 0.44 0.56])

$i^{th}$$X_i$$0.5$

$E[\sum_i X_i] = \sum_i E[X_i] = 0.5 n$$n$

In ähnlicher Weise ist die erwartete Anzahl von Mädchen = .$E[\sum_i (1- X_i)] = \sum_i E[1-X_i] = 0.5 n$

Die Unabhängigkeit der Geburten ist für die Berechnung der Erwartungswerte unerheblich.

---

Antwort von Apropos @ whuber: Wenn es eine Variation der Grenzwahrscheinlichkeit zwischen den Familien gibt, wird das Verhältnis zu Jungen verzerrt, da mehr Kinder in Familien mit einer höheren Wahrscheinlichkeit für Jungen als Familien mit einer niedrigeren Wahrscheinlichkeit leben und dadurch eine verstärkende Wirkung von haben die erwartete Wertsumme für die Jungen.

Unabhängig davon habe ich auch eine Simulation in matlab programmiert, bevor ich gesehen habe, was andere getan haben. Streng genommen ist es kein MC, weil ich das Experiment nur einmal durchführe. Aber einmal reicht aus, um Ergebnisse zu erzielen. Hier ist, was meine Simulation ergibt. Ich beziehe mich nicht auf die Wahrscheinlichkeit von Geburten mit p = 0,5 als Primitiv. Ich lasse die Geburtswahrscheinlichkeit über einen Bereich von Pr (Boys = 1) = 0,25: 0,05: 0,75 variieren.

Meine Ergebnisse zeigen, dass sich das Geschlechterverhältnis von 1 unterscheidet, da die Wahrscheinlichkeit von p = 0,5 abweicht: In Erwartung ist das Geschlechterverhältnis einfach das Verhältnis der Wahrscheinlichkeit der Geburt eines Jungen zur Wahrscheinlichkeit der Geburt eines Mädchens. Das heißt, dies ist eine geometrische Zufallsvariable, wie sie zuvor durch @ månst identifiziert wurde. Dies ist, was ich glaube, das ursprüngliche Plakat war intuitiv.

Meine Ergebnisse ahmen genau nach, was das obige Poster mit dem Matlab-Code bewirkt hat, wobei die Geschlechterverhältnisse mit den Wahrscheinlichkeiten von 0,45, 0,50 und 0,55, mit denen ein Junge geboren wird, übereinstimmen. Ich präsentiere meine, während ich einen etwas anderen Ansatz verfolge, um mit schnellerem Code zu den Ergebnissen zu gelangen. Um den Vergleich durchzuführen, habe ich den Codeabschnitt vec = vec (randperm (s, N)) weggelassen, da s in ihrem Code nicht definiert ist und ich die ursprüngliche Absicht dieser Variablen nicht kenne (auch dieser Codeabschnitt erscheint - wie ursprünglich - überflüssig angegeben).

Ich poste meinen Code

clear all; rng('default')

prob_of_boy = 0.25:0.05:0.75;
prob_of_girls = 1 - prob_of_boy;

iterations = 200;

sex_ratio = zeros(length(prob_of_boy),1);
prob_of_girl_est = zeros(length(prob_of_boy),1);
rounds_of_reproduction = zeros(length(prob_of_boy),1);

for p=1:length(prob_of_boy)

    pop = 1000000;

    boys = zeros(iterations,1);
    girls = zeros(iterations,1);
    prob_of_girl = zeros(iterations,1);

    for i=1:iterations

        x = rand(pop,1);
        x(x<prob_of_boy(p))=1;

        %count the number of boys and girls
        num_boys = sum(x(x==1));

        boys(i) = num_boys;
        girls(i) = pop - num_boys;

        prob_of_girl(i) = girls(i)/(pop);

        %Only families that had a boy continue to reproduce
        x = x(x==1);

        %new population of reproducing parents
        pop = length(x);

        %check that there are no more boys 
        if num_boys==0

            boys(i+1:end)=[];
            girls(i+1:end)=[];
            prob_of_girl(i+1:end)=[];
            break

        end
    end

    prob_of_girl_est(p) = mean(prob_of_girl(prob_of_girl~=0));
    sex_ratio(p) = sum(boys)/sum(girls);
    rounds_of_reproduction(p) = length(boys);
end

scatter(prob_of_girls,prob_of_girl_est)
hold on
title('Est. vs. True Probability of a Girl Birth')
ylabel('Est. Probability of Girl Birth')
xlabel('True Probability of Girl Birth')
line([0 1],[0 1],'LineStyle','--','Color','k')
axis([0.2 0.8 0.2 0.8])

scatter(prob_of_girls,sex_ratio)
hold on
title('Sex Ratio as a function of Girls')
xlabel('Probability of Girls Birth')
ylabel('Sex Ratio: $\frac{E(Boys)}{E(Girls)}$','interpreter','latex')

scatter(prob_of_girls,rounds_of_reproduction)
hold on
title('Rounds of Reproduction a function of Girls')
xlabel('Probability of Girls Birth')
ylabel('Rounds of Reproduction')

Das folgende Diagramm wird aufgrund des starken Gesetzes der großen Anzahl erwartet. Ich reproduziere es, aber der Graph, der zählt, ist der zweite Graph.

Eine andere Bevölkerungswahrscheinlichkeit als 0,5 für die Geburt eines Kindes beiderlei Geschlechts ändert das Geschlechterverhältnis in der Gesamtbevölkerung. Unter der Annahme, dass Geburten unabhängig sind (aber nicht die Wahl, die Fortpflanzung fortzusetzen), bestimmt in jeder Runde der bedingten Fortpflanzung die Bevölkerungswahrscheinlichkeit die Gesamtzusammensetzung der Ergebnisse von Jungen- und Mädchengeburten. Wie andere bereits erwähnt haben, ist die Stop-Regel in dem Problem für das Ergebnis der Population unerheblich, wie dies vom Poster beantwortet wurde, das dies als geometrische Verteilung identifizierte.

Der Vollständigkeit halber wirkt sich die Stoppregel auf die Anzahl der Reproduktionsrunden in der Bevölkerung aus. Da ich das Experiment nur einmal durchführe, ist die Grafik etwas gezackt. Aber die Intuition ist da: Bei einer gegebenen Bevölkerungsgröße sehen wir, dass Familien mit zunehmender Wahrscheinlichkeit der Geburt eines Mädchens weniger Runden der Reproduktion benötigen, um das gewünschte Mädchen zu erhalten, bevor die gesamte Bevölkerung aufhört, sich zu reproduzieren (offensichtlich hängt die Anzahl der Runden von der Häufigkeit ab) Bevölkerungszahl, da es mechanistisch die Wahrscheinlichkeit erhöht, dass eine Familie zum Beispiel 49 Jungen hat, bevor sie ihr erstes Mädchen bekommt)

Der Vergleich zwischen meinen berechneten Geschlechterverhältnissen:

[sex_ratio' prob_of_boy']

0.3327    0.2500
0.4289    0.3000
0.5385    0.3500
0.6673    0.4000
0.8186    0.4500
1.0008    0.5000
1.2224    0.5500
1.5016    0.6000
1.8574    0.6500
2.3319    0.7000
2.9995    0.7500

und die aus dem vorherigen Poster mit dem Matlab-Code:

[boys./girls testRange']

0.8199    0.4500
0.8494    0.4600
0.8871    0.4700
0.9257    0.4800
0.9590    0.4900
1.0016    0.5000
1.0374    0.5100
1.0836    0.5200
1.1273    0.5300
1.1750    0.5400
1.2215    0.5500

Sie sind äquivalente Ergebnisse.

Das hängt von der Anzahl der Familien ab.

$X$$p=0.5$

$$P(X = x) = 0.5^x, x=1,2,3...$$ $E(X) = 2$

$N$

$$\frac{N}{ \sum X_i}$$

$\sum X_i /N \rightarrow E(X) = 2$$N \rightarrow \infty$

$T$$T = \sum X_i$$T$

$$P(T=t) = C^{t-1}_{N-1} 0.5^t, t = N, N+1...$$

$$E\left[ \frac{N}{\sum X_i} \right] = E\left[ \frac{N}{T} \right] = \sum_{t=N}^{\infty} \frac{N}{t} C^{t-1}_{N-1} 0.5^t = {_2F_1} (N, 1, N+1, -1)$$ $_2F_1$

${_2F_1} (N, 1, N+1, -1)$