Was ist die Autokorrelationsfunktion einer Zeitreihe, die sich aus der Berechnung einer sich bewegenden Standardabweichung ergibt?

Angenommen, ich habe eine Zeitreihe von Beobachtungen und berechne ein Maß für die Varianz dieser Zeitreihe als Standardabweichung (SD) in einem rollenden Fenster der Breite und dieses Fenster wird in einzelnen Zeitschritten über die Reihe verschoben. Nehmen wir weiter an, dass , wobei die Anzahl der Beobachtungen ist und dass das Fenster rechtsbündig ist; Ich muss die Werte der Reihe beobachten, bevor ich anfange, Schätzungen der SD der Zeitreihe mit beweglichen Fenstern zu erhalten. $w$ $w = \left \lceil{n/2}\right \rceil$ $n$ $w = \left \lceil{n/2}\right \rceil$

Gibt es eine erwartete Form für den ACF der neuen Zeitreihe von SD-Werten? Ich gehe davon aus, dass sich die Abhängigkeit von vorherigen Werten auf das Fenster mit bezieht , aber hängt der ACF einer solchen Reihe mit dem ACF eines -Prozesses zusammen? $w$ $\mathrm{MA}(w)$

Hintergrund

Ich versuche, die Auswirkungen der Ableitung einer Zeitreihe der Varianz der ursprünglichen Zeitreihe über sich bewegende Fenster zu überdenken. Nachdem die abgeleitete Reihe von SD-Werten berechnet wurde, besteht der nächste Schritt, der üblicherweise angewendet wird, darin, festzustellen, ob die abgeleitete Reihe von SD-Werten einen Trend aufweist. Da jeder Wert in der abgeleiteten Reihe in gewissem Maße von den vorherigen Werten der ursprünglichen Reihe abhängt, sind die Werte der abgeleiteten Reihe nicht unabhängig. Eine häufig auftretende Frage ist daher, wie dieser Mangel an Unabhängigkeit erklärt werden kann.

Solche Berechnungen (die sich bewegenden Fenster) werden häufig für Zeitreihen durchgeführt, um nach Hinweisen auf Indikatoren (zunehmende Varianz, zunehmender AR (1) -Koeffizient) der bevorstehenden Schwellenwertantwort (sogenannte kritische Übergänge) zu suchen.

time-series autocorrelation moving-window

— Gavin Simpson
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Ist etwas über die Abhängigkeit in der Reihe bekannt, von der die gleitende Standardabweichung berechnet wird? Ist das der Sie erwähnen? (Es ist eigentlich nicht klar, ob sich das auf die Originalserie oder die SD-Serie beziehen soll, zumindest nicht auf mich).

MA (w)

$\text{MA}(w)$

— Glen_b -Rate State Monica

@Glen_b Wir könnten ein Mathrm an die Originalserie anpassen , aber ich habe mich mehr gefragt, ob, da die Originalserie tatsächlich Residuen ist, nachdem ein Trend geschätzt und entfernt wurde, der Mittelwert im sich bewegenden Fenster (in) berechnet wird Die gleiche Art und Weise, wie ich sie oben für die SD beschrieben habe, würde so etwas wie einen MA-Prozess ergeben, und daher, wenn es eine ähnliche Verknüpfung gäbe, so dass die Moving-SD ACF mit ähnlichen Eigenschaften wie der MA-Prozess hätte (deutliche Korrelationen bei Verzögerungen bis zu ). .

m a t h r m M A (q)

$mathrm{MA}(q)$

q

$q$

— Gavin Simpson

Nachdem ich ein bisschen mehr Hintergrundinformationen zu Modellen für die Varianz einer Serie gemacht habe, frage ich mich, ob es nicht rundum besser wäre, nur zu diesem Modell zu passen, als sich um die beweglichen Fensterbits zu sorgen. Ein (G) ARCH- oder stochastisches Volatilitätsmodell scheint im Moment dafür angemessen zu sein, aber ich bin mir nicht sicher, wie sich zeigen würde, dass die Varianz mit einem dieser Modelle zunimmt ? Aber das ist für eine andere Frage und Antwort. Immer noch sehr interessiert an irgendwelchen Gedanken zum Q hier, da es ziemlich oft ist, nach Frühwarnsignalen für einen bevorstehenden Übergang in der Ökologie zu suchen.

— Gavin Simpson

Es ist eine sehr interessante Frage, aber Sie scheinen bereits mindestens so viel Einsicht zu haben, wie ich anbieten könnte, ohne viel Zeit damit zu verbringen - und wahrscheinlich sogar danach. Vielleicht hat eine der Zeitreihen mehr zu bieten.

— Glen_b -Rate State Monica

Könnten wir annehmen, dass die ursprüngliche Reihe aus Gaußschen (normalen) Zufallsvariablen besteht?

— Alecos Papadopoulos

Der ACF der rollenden Standardabweichung kann im Allgemeinen nicht aus dem ACF der Zeitreihe erhalten werden, da die rollende Standardabweichung grundsätzlich ein nichtlinearer Filter ist.

Um Randeffekte zu vermeiden, sei ein doppelt unendlicher stationärer Prozess mit Mittelwert 0. Nach Verständnis der Rolling Window-Berechnung führen wir den Rolling Varianz was ein rückwärts gleitender Durchschnitt des quadratischen Prozesses ist . Die Standardabweichung ist umso mehr ein nichtlinearer Filter. Jedoch ist ein kausale linearen Filter des quadrierten Prozesses und seine ACF kann daher aus dem ACF von abgeleitet werden . Wenn die Zeitreihe eine Folge von iid-Variablen ist, ist dies auch der quadratische Prozess. In diesem Fall $(X_t)_{t \in\mathbb{Z}}$

s_{t}^{2} = \sum_{i = 0}^{w} \frac{1}{w + 1} X_{t - i}^{2},

$s_t^2 = \sum_{i=0}^w \frac{1}{w+1} X_{t-i}^2,$

s_{t} = \sqrt{s_{t}^{2}}

$s_t = \sqrt{s_t^2}$

(s_{t}^{2})_{t \in Z}

$(s_t^2)_{t \in \mathbb{Z}}$

(X_{t}^{2})_{t \in Z}

$(X_t^2)_{t \in \mathbb{Z}}$

(s_{t}^{2})_{t \in Z}

$(s_t^2)_{t \in \mathbb{Z}}$ ist ein MA -Prozess mit allen Gewichten gleich . Mit einem ARCH (1) -Modell können wir andererseits ein Beispiel finden, bei dem der Prozess selbst ein Prozess mit weißem Rauschen ist, der quadratische Prozess jedoch nicht. Tatsächlich stimmt für das ARCH (1) -Modell der ACF für den quadratischen Prozess mit dem ACF für einen AR (1) -Prozess überein. In diesem Fall ist der ACF für die rollierende Varianz der gleiche wie für einen gleitenden Durchschnitt eines AR (1) ) Prozess.

(w)

$(w)$

1 / (w + 1)

$1/(w+1)$

Die obigen Berechnungen sind eindeutig idealisiert, da wir in der Praxis wahrscheinlich auch einen rollierenden Mittelwert verwenden würden, um die Zeitreihen zu zentrieren. Aus meiner Sicht würde dies explizite Berechnungen nur noch mehr durcheinander bringen.

Mit expliziten Annahmen über die Zeitreihen (ARCH-Struktur oder eine Gaußsche Verteilung) besteht eine gewisse Chance, dass Sie den ACF für den quadratischen Prozess und daraus den ACF für die rollierende Varianz berechnen können.

Auf einer qualitativeren Ebene erben die Rollvarianz und die Rollstandardabweichung die Ergodizität und verschiedene Mischeigenschaften aus der Zeitreihe selbst. Dies ist nützlich, wenn Sie allgemeine Werkzeuge aus (nichtlinearen) Zeitreihenanalysen und stochastischen Prozessen anwenden möchten, um festzustellen, ob die rollierende Standardabweichung stationär ist (was meines Wissens von Interesse ist).

— NRH
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