Verteilung der Faltung von quadrierten Normal- und Chi-Quadrat-Variablen?

Das folgende Problem ist kürzlich bei der Datenanalyse aufgetreten. Wenn die Zufallsvariable X einer Normalverteilung folgt und Y einer $\chi^2_n$ Verteilung folgt (mit n dof), wie ist verteilt? Bisher habe ich mir das PDF von : $Z = X^2 + Y^2$ $Y^2$

\begin{array}{rcl} ψ_{n}^{2} (x) & = & \frac{\partial F (\sqrt{x})}{\partial x} \\ = & {(\int_{0}^{\sqrt{x}} \frac{t^{n / 2 - 1} \cdot e^{- t / 2}}{2^{n / 2} Γ (n / 2)} d t)}_{x}^{'} \\ = & \frac{1}{2^{n / 2} Γ (n / 2)} \cdot {(\sqrt{x})}^{n / 2 - 1} \cdot e^{- \sqrt{x} / 2} \cdot {(\sqrt{x})}_{x}^{'} \\ = & \frac{1}{2^{n / 2 - 1} Γ (n / 2)} \cdot x^{n / 4 - 1} \cdot e^{- \sqrt{x} / 2} \end{array}

$\begin{eqnarray} \psi^2_n(x) &=& \frac{\partial F(\sqrt{x})}{\partial x} \\ &=& \left( \int_0^{\sqrt{x}} \frac{t^{n/2-1}\cdot e^{-t/2}}{2^{n/2}\Gamma(n/2)} \mathrm{d}t \right)^\prime_x \\ &=& \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)} \cdot \left( \sqrt{x} \right)^{n/2-1} \cdot e^{-\sqrt{x}/2} \cdot \left( \sqrt{x} \right)^\prime_x \\ &=& \frac{1}{2^{n/2-1}\Gamma(n/2)} \cdot x^{n/4-1} \cdot e^{-\sqrt{x}/2} \end{eqnarray}$

sowie einige Vereinfachungen für das Faltungsintegral ( hat das pdf mit m dof): $X^2$ $\chi^2_m$

\begin{array}{rcl} K_{m n} (t) & := & (χ_{m}^{2} * ψ_{n}^{2}) (t) \\ = & \int_{0}^{t} χ_{m}^{2} (x) \cdot ψ_{n}^{2} (t - x) d x \\ = & {(2^{\frac{(n + m)}{2} + 1} Γ (\frac{m}{2}) Γ (\frac{n}{2}))}^{- 1} \cdot \int_{0}^{t} (t - x)^{\frac{n}{4} - 1} \cdot x^{\frac{m}{2} - 1} \cdot \exp (- (\sqrt{t - x} + x) / 2) d x \end{array}

$\begin{eqnarray} K_{mn}(t) &:=& ( \chi^2_m \ast \psi^2_n )(t) \\ &=& \int_0^t \chi^2_m(x) \cdot \psi^2_n(t-x) \mathrm{d}x \\ &=& \left( 2^{\frac{(n+m)}{2}+1} \Gamma(\frac{m}{2}) \Gamma(\frac{n}{2}) \right)^{-1} \cdot \int_0^t (t-x)^{\frac{n}{4}-1} \cdot x^{\frac{m}{2}-1} \cdot \exp(-(\sqrt{t-x}+x)/2) \mathrm{d}x \end{eqnarray}$

Sieht jemand eine gute Möglichkeit, dieses Integral für ein reales t zu berechnen, oder muss es numerisch berechnet werden? Oder vermisse ich eine viel einfachere Lösung?

— Leo Szilard
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Wenn das nicht quadratisch wäre, hätte ich einen konkreten Rat. Ich denke nicht, dass dieses Modell handhabbar sein wird (und auch nicht unbedingt besonders aufschlussreich, selbst wenn es sich als handhabbar erweisen würde). Ich wäre versucht, rechnerische Ansätze wie numerische Faltung oder Simulation zu untersuchen, je nachdem, was Sie genau mit dem Ergebnis anfangen möchten.

Y

$Y$

— Glen_b -Reinstate Monica

Es ist meiner Meinung nach sehr unwahrscheinlich, dass das Integral durchgeführt werden kann.

— Dave31415

@ Dave31415 Für und sogar das Integral explizit für positive Integralwerte von und berechnet werden . Dies entspricht einer linearen Kombination von Exponential- und Fehlerfunktionen mit Koeffizienten, die in Polynome sind . Die Auswertung kann über die Substitution . Zum Beispiel erhalten wir mit .

n

$n$

m

$m$

n

$n$

m

$m$

\sqrt{t}

$\sqrt{t}$

x = t - u^{2}

$x=t-u^2$

n = 2, m = 4

$n=2,m=4$

\frac{1}{4} e^{- \frac{1}{8} (2 \sqrt{t} + 1)^{2}} (e^{\frac{\sqrt{t}}{2}} (\sqrt{2 π} (4 t + 3) (erfi (\frac{2 \sqrt{t} - 1}{2 \sqrt{2}}) + erfi (\frac{1}{2 \sqrt{2}})) + 4 e^{\frac{1}{8}}) - 4 e^{\frac{t}{2} + \frac{1}{8}} (2 \sqrt{t} + 1))

$\frac{1}{4}e^{-\frac{1}{8}(2\sqrt{t}+1)^2}(e^{\frac{\sqrt{t}}{2}}(\sqrt{2\pi} (4t+3)(\text{erfi}(\frac{2\sqrt{t}-1}{2\sqrt{2}})+\text{erfi}(\frac{1}{2\sqrt{2}}))+4e^\frac{1}{8})-4 e^{\frac{t}{2}+\frac{1}{8}}(2\sqrt{t}+1))$

— whuber

Nett. Bei ungeraden Zahlen könnten Sie es wahrscheinlich mit dem Durchschnitt des Ergebnisses für die Begrenzung von geraden Zahlen approximieren? Oder vielleicht nicht.

— Dave31415

Vielen Dank für Ihre Antworten! Für einige gerade Fälle habe ich ein ähnliches Ergebnis erhalten, das Dawsons Funktion betrifft, aber es sieht so aus, als müsste ich noch einige Arbeiten für eine allgemeine Lösung

— ausführen

Falls es hilft, ist die Variable eine verallgemeinerte Gamma-Zufallsvariable (siehe z. B. Stacy 1962). Bei Ihrer Frage geht es um die Verteilung der Summe einer Chi-Quadrat-Zufallsvariablen und einer verallgemeinerten Gamma-Zufallsvariablen. Meines Wissens hat die Dichte der resultierenden Variablen keinen Ausdruck in geschlossener Form. Daher ist die erhaltene Faltung ein Integral ohne geschlossene Lösung. Ich denke, Sie werden mit einer numerischen Lösung für diese eine stecken bleiben. $Y^2$

Stacy, EW (1962). Eine Verallgemeinerung der Gamma-Verteilung. Annals of Mathematical Statistics 33 (3) , S. 1187–1192.

— Setzen Sie Monica wieder ein
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Dies ist nur ein Hinweis. Pearson Typ III kann Chi-Quadrat sein. Manchmal kann eine Faltung gefunden werden, indem etwas mit sich selbst verwickelt wird. Ich habe es geschafft, ND und GD zusammenzufassen , für die ich einen Pearson III mit sich selbst zusammengelegt habe. Wie das mit ND und Chi-Squared funktioniert, weiß ich nicht genau. Sie haben jedoch um Hinweise gebeten, und dies ist ein allgemeiner Hinweis. Das sollte ausreichen, um Ihnen den Einstieg zu erleichtern, hoffe ich. $^2$

— Carl
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Können Sie erklären, wie dies die Frage beantwortet? Es scheint nicht direkt verwandt zu sein.

— Whuber

Pearson Typ III Faltung mit sich selbst kann durchgeführt werden. Aus irgendeinem Grund ist es einfacher, eine Sache mit sich selbst zu verbinden, als eine Sache mit der anderen. Zum Beispiel löste ich die Faltung von Pearson Typ III und erhielt die Faltungen von ND mit GD, einem verwandten Problem.

— Carl

Scheint nicht geholfen zu haben, wird in Kürze gelöscht.

— Carl