Abdeckungswahrscheinlichkeiten des grundlegenden Bootstrap-Konfidenzintervalls

Ich habe die folgende Frage für einen Kurs, an dem ich arbeite:

Führen Sie eine Monte-Carlo-Studie durch, um die Abdeckungswahrscheinlichkeiten des normalen Standard-Bootstrap-Konfidenzintervalls und des grundlegenden Bootstrap-Konfidenzintervalls abzuschätzen. Stichprobe aus einer normalen Population und Überprüfung der empirischen Abdeckungsraten für den Stichprobenmittelwert.

Die Abdeckungswahrscheinlichkeiten für das normale Standard-Bootstrap-CI sind einfach:

n = 1000;
alpha = c(0.025, 0.975);
x = rnorm(n, 0, 1);
mu = mean(x);
sqrt.n = sqrt(n);

LNorm = numeric(B);
UNorm = numeric(B);

for(j in 1:B)
{
    smpl = x[sample(1:n, size = n, replace = TRUE)];
    xbar = mean(smpl);
    s = sd(smpl);

    LNorm[j] = xbar + qnorm(alpha[1]) * (s / sqrt.n);
    UNorm[j] = xbar + qnorm(alpha[2]) * (s / sqrt.n);
}

mean(LNorm < 0 & UNorm > 0); # Approximates to 0.95
# NOTE: it is not good enough to look at overall coverage
# Must compute separately for each tail

Aus dem, was ich für diesen Kurs gelernt habe, kann das grundlegende Bootstrap- Konfidenzintervall wie folgt berechnet werden:

# Using x from previous...
R = boot(data = x, R=1000, statistic = function(x, i){ mean(x[i]); });
result = 2 * mu - quantile(R$t, alpha, type=1);

Das macht Sinn. Was ich nicht verstehe, ist die Berechnung der Abdeckungswahrscheinlichkeiten für das grundlegende Bootstrap-CI. Ich verstehe, dass die Abdeckungswahrscheinlichkeit die Häufigkeit darstellt, mit der das CI den wahren Wert enthält (in diesem Fall mu). Führe ich die bootFunktion einfach viele Male aus?

Wie kann ich diese Frage anders angehen?

Die Terminologie wird wahrscheinlich nicht konsistent verwendet, daher verstehe ich im Folgenden nur die ursprüngliche Frage. Nach meinem Verständnis sind die von Ihnen berechneten normalen CIs nicht das, wonach gefragt wurde. Jeder Satz von Bootstrap-Replikaten gibt Ihnen ein Konfidenzintervall, nicht viele. Die Methode zum Berechnen verschiedener CI-Typen aus den Ergebnissen einer Reihe von Bootstrap-Replikaten lautet wie folgt:

B    <- 999                  # number of replicates
muH0 <- 100                  # for generating data: true mean
sdH0 <- 40                   # for generating data: true sd
N    <- 200                  # sample size
DV   <- rnorm(N, muH0, sdH0) # simulated data: original sample

boot$M^{\star}$$\mu$$S_{M}^{2\star}$$\sigma_{M}^{2}$$t$

> getM <- function(orgDV, idx) {
+     bsM   <- mean(orgDV[idx])                       # M*
+     bsS2M <- (((N-1) / N) * var(orgDV[idx])) / N    # S^2*(M)
+     c(bsM, bsS2M)
+ }

> library(boot)                                       # for boot(), boot.ci()
> bOut <- boot(DV, statistic=getM, R=B)
> boot.ci(bOut, conf=0.95, type=c("basic", "perc", "norm", "stud"))
BOOTSTRAP CONFIDENCE INTERVAL CALCULATIONS
Based on 999 bootstrap replicates
CALL : 
boot.ci(boot.out = bOut, conf = 0.95, type = c("basic", "perc", "norm", "stud"))

Intervals : 
Level      Normal            Basic         Studentized        Percentile    
95%   ( 95.6, 106.0 )   ( 95.7, 106.2 )  ( 95.4, 106.2 )   ( 95.4, 106.0 )  
Calculations and Intervals on Original Scale

Ohne Verwendung eines Pakets können bootSie einfach replicate()eine Reihe von Bootstrap-Replikaten abrufen.

boots <- t(replicate(B, getM(DV, sample(seq(along=DV), replace=TRUE))))

Aber bleiben wir bei den Ergebnissen von boot.ci(), um eine Referenz zu haben.

boots   <- bOut$t                     # estimates from all replicates
M       <- mean(DV)                   # M from original sample
S2M     <- (((N-1)/N) * var(DV)) / N  # S^2(M) from original sample
Mstar   <- boots[ , 1]                # M* for each replicate
S2Mstar <- boots[ , 2]                # S^2*(M) for each replicate
biasM   <- mean(Mstar) - M            # bias of estimator M

$t$$\alpha/2$$1 - \alpha/2$boot.ci()

(idx <- trunc((B + 1) * c(0.05/2, 1 - 0.05/2)) # indices for sorted vector of estimates
[1] 25 975

> (ciBasic <- 2*M - sort(Mstar)[idx])          # basic CI
[1] 106.21826  95.65911

> (ciPerc <- sort(Mstar)[idx])                 # percentile CI
[1] 95.42188 105.98103

$t$$t^{\star}$$t$$z$

# standard normal CI with bias correction
> zCrit   <- qnorm(c(0.025, 0.975))   # z-quantiles from std-normal distribution
> (ciNorm <- M - biasM + zCrit * sqrt(var(Mstar)))
[1] 95.5566 106.0043

> tStar <- (Mstar-M) / sqrt(S2Mstar)  # t*
> tCrit <- sort(tStar)[idx]           # t-quantiles from empirical t* distribution
> (ciT  <- M - tCrit * sqrt(S2M))     # studentized t-CI
[1] 106.20690  95.44878

Um die Abdeckungswahrscheinlichkeiten dieser CI-Typen abzuschätzen, müssen Sie diese Simulation viele Male ausführen. Wickeln Sie einfach den Code in eine Funktion ein, geben Sie eine Liste mit den CI-Ergebnissen zurück und führen Sie sie replicate()wie in dieser Übersicht gezeigt aus .