Notation für die Mehrebenenmodellierung

Die Formel, die man für das Training eines Mehrebenenmodells ( lmeraus der lme4 RBibliothek) angeben muss, bringt mich immer weiter. Ich habe unzählige Lehrbücher und Tutorials gelesen, aber nie richtig verstanden.

Hier ist ein Beispiel aus diesem Tutorial , das ich gerne in einer Gleichung formuliert sehen würde. Wir versuchen, die Sprachfrequenz in verschiedenen Szenarien als Funktion des Geschlechts (Frauen haben eine höhere Stimme als Männer im Allgemeinen) und der Einstellung der Person (ob sie höflich oder informell geantwortet hat) zu modellieren. Wie Sie der subjectSpalte entnehmen können, wurde jede Person mehrmals gemessen.

> head(politeness, n=20)
   subject gender scenario attitude frequency
1       F1      F        1      pol     213.3
2       F1      F        1      inf     204.5
3       F1      F        2      pol     285.1
4       F1      F        2      inf     259.7
5       F1      F        3      pol     203.9
6       F1      F        3      inf     286.9
7       F1      F        4      pol     250.8
8       F1      F        4      inf     276.8
9       F1      F        5      pol     231.9
10      F1      F        5      inf     252.4
11      F1      F        6      pol     181.2
12      F1      F        6      inf     230.7
13      F1      F        7      inf     216.5
14      F1      F        7      pol     154.8
15      F3      F        1      pol     229.7
16      F3      F        1      inf     237.3
17      F3      F        2      pol     236.8
18      F3      F        2      inf     251.0
19      F3      F        3      pol     267.0
20      F3      F        3      inf     266.0

subject, genderUnd attitudesind Faktoren (mit informalund femaleals Basisebene betrachteten für attitudeund genderin den Gleichungen unten). Eine Idee ist nun, ein Modell mit unterschiedlichen Abschnitten für jedes zu trainieren subjectund scenario:

politeness.model=lmer(frequency ~ attitude + gender + 
 (1|subject) + (1|scenario), data=politeness)

Wenn mein Verständnis der Notation korrekt ist, entspricht dies:

$y_i=a^1_{j[i]}+a^2_{k[i]}+\beta\cdot$ attitude$_{\text{pol}_i} + \gamma\cdot$ gender$_{\text{male}_i}$

wo bezeichnet Datenpunkt, Bezeichnet Gruppenebene für und Bezeichnet Gruppenebene für für Datenpunkt. und sind binäre Indikatoren.$i$$i^{th}$$j[i]$subject$k[i]$scenario$i^{th}$attitude$_\text{pol}$gender$_\text{male}$

Um zufällige Steigungen für die Einstellung einzuführen, können wir schreiben:

politeness.model = lmer(frequency ~ attitude + gender + 
 (1+attitude|subject) + (1+attitude|scenario), data=politeness)

Wenn mein Verständnis klar ist, entspricht dies wiederum:

$y_i = a^1_{j[i]} + a^2_{k[i]} + (\beta^1_{j[i]} + \beta^2_{k[i]})\cdot$ attitude$_{\text{pol}_i} + \gamma\cdot$ gender$_{\text{male}_i}$

Welcher Gleichung entspricht nun der folgende RBefehl?

politeness.null = lmer(frequency ~ gender +
 (1+attitude|subject) +  (1+attitude|scenario), data=politeness)

ich würde schreiben

~ attitude + gender + (1|subject) + (1|scenario)

wie

$$y_i \sim \beta_0 + \beta_1 \cdot I(\textrm{attitude}=\textrm{pol}) + \beta_2 I(\textrm{gender}=\textrm{male}) + b_{1,j[i]} + b_{2,k[i]} + \epsilon_i \\ b_1 \sim N(0,\sigma^2_1) \\ b_2 \sim N(0,\sigma^2_2) \\ \epsilon \sim N(0,\sigma^2_r)$$ wobei einen Koeffizienten mit festem Effekt angibt , eine Zufallsvariable angibt, eine Indikatorfunktion ist (dies ist im Grunde das gleiche wie das, was Sie oben gesagt haben, nur geringfügig andere Notation).$\beta$$b$$I$

~ attitude + gender + (1+attitude|subject) + (1+attitude|scenario)

fügt Variationen zwischen den Subjekten als Reaktion auf attitudeund hinzu scenario(wir könnten den Teil mit zufälligen Effekten äquivalent schreiben als (attitude|subject) + (attitude|scenario), dh den Abschnitt implizit lassen; dies ist Geschmackssache). Jetzt

$$y_i \sim \beta_0 + \beta_1 \cdot I(\textrm{attitude}=\textrm{pol}) + \beta_2 I(\textrm{gender}=\textrm{male}) + \\ b_{1,j[i]} + b_{3,j[i]} I(\textrm{attitude}=\textrm{pol}) + b_{2,k[i]} + b_{4,k[i]} I(\textrm{attitude}=\textrm{pol}) + \epsilon_i \\ \{b_1,b_3\} \sim \textrm{MVN}({\mathbf 0},\Sigma_1) \\ \{b_2,b_4\} \sim \textrm{MVN}({\mathbf 0},\Sigma_2) \\ \epsilon \sim N(0,\sigma^2_r)$$ wobei und unstrukturierte Varianz-Kovarianz-Matrizen sind, dh sie sind symmetrisch und positiv (halb) definitiv, aber ohne andere Einschränkungen: und ähnlich für .$\Sigma_1$$\Sigma_2$ $$\Sigma_1 = \left( \begin{array}{cc} \sigma^2_1 & \sigma_{13} \\ \sigma_{13} & \sigma^2_3 \end{array} \right)$$ $\Sigma_2$

Es kann lehrreich sein, Begriffe wie folgt zu gruppieren: So können Sie sehen, welche zufälligen Effekte den Achsenabschnitt beeinflussen und welche die Reaktion auf die Einstellung beeinflussen.

$$y_i \sim (\beta_0 + b_{1,j[i]} + b_{2,k[i]}) + \\ ( \beta_1 + b_{3,j[i]} + b_{4,k[i]}) \cdot I(\textrm{attitude}=\textrm{pol}) + \beta_2 I(\textrm{gender}=\textrm{male}) + \epsilon_i$$

Wenn Sie nun den attitudeTerm mit festem Effekt weglassen (dh oder den Term aus der Formel streichen), können Sie sehen (ohne alles neu zu schreiben), dass wir es sein werden, da angenommen wird, dass die zufälligen Effekte den Mittelwert Null haben Unter der Annahme, dass die durchschnittliche Reaktion auf die Einstellung zwischen Themen und Szenarien genau Null ist, gibt es immer noch Unterschiede zwischen Themen und Szenarien. Ich werde nicht sagen, dass dies aus statistischer Sicht niemals Sinn macht, aber es tut es selten. Es gibt Diskussionen zu diesem Thema auf der Mailingliste r-sig-mixed-models@r-project.org von Zeit zu Zeit ... (oder es kann irgendwo auf StackExchange besprochen werden - wenn nicht, wäre es eine gute Folge -up SE Frage ...)$\beta_1=0$attitude