Konvergenz in der Verteilung \ CLT

Wenn , ist die bedingte Verteilung. von ist . hat eine marginale Verteilung. von Poisson ( ) ist eine positive Konstante. $N = n$ $Y$ $\chi ^2(2n)$ $N$ $\theta$ $\theta$

Zeigen , dass, als , in der Verteilung. $\theta \rightarrow \infty$ $\space \space (Y - E(Y))/ \sqrt{\operatorname{Var}(Y)} \rightarrow N(0,1)$

Könnte jemand Strategien vorschlagen, um dies zu lösen. Es scheint, als müssten wir CLT (Central Limit Theorem) verwenden, aber es scheint schwierig, allein Informationen über zu erhalten. Gibt es ein RV, das eingeführt werden kann, um eine Stichprobe von zu entnehmen ? $Y$ $Y$

Dies sind Hausaufgaben, daher werden Hinweise geschätzt.

— user42102
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Sieht auch für mich wie eine Clt-Sache aus. Vielleicht ist es dir schon klar, aber als Theta-> Unendlichkeit, was passiert mit N?

— PeterR

Sollte ich mir die Verteilung von N ansehen? Wenn ich damit herumspiele, sieht es so aus, als ob das PDF immer 0 sein wird. Was kann ich daraus schließen?

— user42102

Was ist der Mittelwert einer Poisson (Theta) Zufallsvariablen?

— PeterR

Ich habe das N in dieser Frage und die Stichprobengröße n in der Definition von CLT verwechselt. Also ist . Wir sehen also, dass der erwartete Wert von N gegen unendlich geht. Ich bin mir allerdings nicht sicher, wohin ich von hier aus gehen soll.

E (N) = θ

$E(N) = \theta$

— user42102

Sie sollten sich die nicht zentrale Chi-Quadrat-Verteilung ansehen. Der Nachweis, dass das Limit normal ist, wird komplizierter sein als eine einfache Anwendung des CLT, fürchte ich jedoch.

— Caburke

Antworten:

Ich eine Lösung basierend auf Eigenschaften charakteristischer Funktionen, die wie folgt definiert sind: Wir wissen, dass die Verteilung eindeutig durch die charakteristische Funktion definiert ist, daher werde ich beweisen, dass und daraus folgt die gewünschte Konvergenz.

ψ_{X} (t) = E \exp (i t X) .

$\psi_X(t)=E\exp{(itX)}.$

ψ_{(Y - E Y) / \sqrt{V a r (Y)}} \to ψ_{N (0, 1)} (t), when θ \to \infty,

$\psi_{(Y-EY)/\sqrt{Var(Y)}}\rightarrow \psi_{N(0,1)}(t), \text{ when } \theta \rightarrow \infty,$

Dazu muss ich den Mittelwert und die Varianz von berechnen , für die ich das Gesetz der Gesamterwartungen / Varianz verwende - http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_total_expectation . Ich habe verwendet, dass der Mittelwert und die Varianz der Poisson-Verteilung und Mittelwert und sind Die Varianz von ist und . Nun kommt der Kalkül mit charakteristischen Funktionen. Zuerst schreibe ich die Definition von als $Y$

E Y = E {E (Y | N)} = E {2 N} = 2 θ

$EY=E\{E(Y|N)\}=E\{2N\}=2\theta$

V a r (Y) = E {V a r (Y | N)} + V a r {E (Y | N)} = E {4 N} + V a r (2 N) = 4 θ + 4 V a r (N) = 8 θ

$Var(Y)=E\{Var(Y|N)\}+Var\{E(Y|N)\}=E\{4N\}+Var(2N)=4\theta+4Var(N)=8\theta$

E N = V a r (N) = θ

$EN=Var(N)=\theta$

χ_{2 n}^{2}

$\chi^2_{2n}$

E (Y | N = n) = 2 n

$E(Y|N=n)=2n$

V a r (Y | N = n) = 4 n

$Var(Y|N=n)=4n$

Y

$Y$

Y = \sum_{n = 1}^{\infty} Z_{2 n} I_{[N = n]}, where Z_{2 n} \sim χ_{2 n}^{2}

$Y=\sum_{n=1}^{\infty}Z_{2n}I_{[N=n]}, \text{ where } Z_{2n}\sim \chi^2_{2n}$ Jetzt verwende ich einen Satz, der besagt: Die charakteristische Funktion von ist , was hier entnommen wird: http://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_function_(probability_theory)

ψ_{Y} (t) = \sum_{n = 1}^{\infty} ψ_{Z_{2 n} (t)} P (N = n)

$\psi_Y(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\psi_{Z_{2n}(t)}P(N=n)$

χ_{2 n}^{2}

$\chi^2_{2n}$

ψ_{Z_{2 n} (t)} = (1 - 2 i t)^{- n}

$\psi_{Z_{2n}(t)}=(1-2it)^{-n}$

Nun berechnen wir die charakteristische Funktion für Verwendung der Taylor-Expansion für Am Ende verwenden wir die Eigenschaften charakteristischer Funktionen Ich bin über den Kalkül gesprungen, weil er mittlerweile zu lang ist ... $Y$ $\exp(x)$

ψ_{Y} (t) = \sum_{n = 1}^{\infty} ψ_{Z_{2 n} (t)} P (N = n) = \sum_{n = 1}^{\infty} (1 - 2 i t)^{- n} \frac{θ^{n}}{n!} \exp (- θ) = \sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{θ}{(1 - 2 i t)})}^{n} \frac{1}{n!} \exp (- θ) = \exp (\frac{θ}{1 - 2 i t}) \exp (- θ) = \exp (\frac{2 i t θ}{1 - 2 i t})

$\psi_Y(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\psi_{Z_{2n}(t)}P(N=n)=\sum_{n=1}^{\infty}(1-2it)^{-n}\frac{\theta^n}{n!}\exp{(-\theta)}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\theta}{(1-2it)}\right)^n\frac{1}{n!}\exp{(-\theta)}=\exp(\frac{\theta}{1-2it})\exp(-\theta)=\exp(\frac{2it\theta}{1-2it})$

ψ_{(Y - E Y) / \sqrt{V a r (Y)}} (t) = \exp (- i \frac{E Y}{\sqrt{V a r Y}}) ψ_{Y} (t / \sqrt{V a r Y}) = \exp (- \frac{t^{2}}{2}) \exp (- 1 + 2 i \frac{t}{\sqrt{8 θ}}) \to \exp (- \frac{t^{2}}{2}) = ψ_{N (0, 1)} (t), when θ \to \infty

$\psi_{(Y-EY)/\sqrt{Var(Y)}}(t)=\exp(-i\frac{EY}{\sqrt{VarY}})\psi_Y(t/\sqrt{VarY})= \\\exp(-\frac{t^2}{2})\exp{(-1+2i\frac{t}{\sqrt{8\theta}})}\rightarrow \exp(-\frac{t^2}{2})=\psi_{N(0,1)}(t), \text{ when } \theta \rightarrow \infty$

— Fimba
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Dies kann über die Beziehung zur nichtzentralen Chisquadratverteilung gezeigt werden. Es gibt einen guten Wikipedia-Artikel zu dem, auf den ich mich frei beziehen werde! https://en.wikipedia.org/wiki/Noncentral_chi-squared_distribution

Sie haben angegeben, dass chisquadratisch mit Freiheitsgraden für . Hier hat die Poisson-Verteilung mit Erwartung . $Y|N=n$ $2 n$ $n=0,1,\dots, \infty$ $N$ $\theta$

Dann haben wir, dass die Dichtefunktion von (bedingungslos) unter Verwendung des Gesetzes der Gesamtwahrscheinlichkeit geschrieben werden kann als Dies ist fast die Dichte einer nicht zentralen chisquared Variablen, außer dass der Freiheitsgradparameter , was wirklich undefiniert ist. (Dies ist im Definitionsabschnitt des Wikipedia-Artikels angegeben). $Y$

f_{Y} (y; 0, θ) = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{e^{- θ} θ^{i}}{i!} f_{{χ^{2}}_{2 i}} (y)

$f_Y(y; 0, \theta) = \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-\theta} \theta^i}{i!} f_{{\chi^2}_{2i}}(y)$

k = 0

$k=0$

Um etwas genau definiert zu erhalten, ersetzen wir die obige Formel durch , das ist die Dichte eines nichtzentrale ChiQuadrat Variable mit Freiheitsgraden und nicht-Zentralitäts Parameter . In unserer Analyse müssen wir uns also daran erinnern, das Limit zu nehmen, wenn nachdem wir das Limit . Dies ist unproblematisch, da in der Grenze von die Wahrscheinlichkeit von

f_{Y} (y; k, θ) = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{e^{- θ} θ^{i}}{i!} f_{{χ^{2}}_{2 i + k}} (y)

$f_Y(y; k,\theta) = \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-\theta} \theta^i}{i!} f_{{\chi^2}_{2i+k}}(y)$

k

$k$

2 θ

$2\theta$

k \to 0

$k \rightarrow 0$

θ \to \infty

$\theta \rightarrow \infty$

θ \to \infty

$\theta \rightarrow \infty$

N = 0

$N=0$ geht auf Null, so dass die Punktmasse bei Null verschwindet (chisquared Variable mit Null Freiheitsgraden muss als Punktmasse bei Null interpretiert werden, also keine Dichtefunktion haben).

Verwenden Sie nun für jedes feste das Ergebnis im Wiki, abschnittsbezogene Verteilungen und normale Näherungen, die die gesuchte Standardnormalgrenze für jedes . Nehmen Sie dann die Grenze, wenn auf Null geht, was das Ergebnis ergibt. $k$ $k$ $k$

— kjetil b halvorsen
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