Ungefähre Auftragsstatistik für normale Zufallsvariablen

Gibt es bekannte Formeln für die Ordnungsstatistik bestimmter Zufallsverteilungen? Insbesondere die Statistik erster und letzter Ordnung einer normalen Zufallsvariablen, aber auch eine allgemeinere Antwort wären wünschenswert.

Bearbeiten: Um dies zu verdeutlichen, suche ich nach Näherungsformeln, die mehr oder weniger explizit ausgewertet werden können, nicht nach dem exakten ganzzahligen Ausdruck.

Zum Beispiel habe ich die folgenden zwei Näherungen für die Statistik erster Ordnung (dh das Minimum) eines normalen rv gesehen:

$e_{1:n} \geq \mu - \frac{n-1}{\sqrt{2n-1}}\sigma$

und

$e_{1:n} \approx \mu + \Phi^{-1} \left( \frac{1}{n+1} \right)\sigma$

Die erste davon ergibt für ungefähr was wie eine wild lockere Bindung erscheint.$n=200$$e_{1:200} \geq \mu - 10\sigma$

Die Sekunde gibt während ein schnelles Monte Carlo ergibt , es ist also keine schlechte Annäherung, aber auch nicht großartig was noch wichtiger ist, ich habe keine Ahnung, woher es kommt.$e_{1:200} \approx \mu - 2.58\sigma$$e_{1:200} \approx \mu - 2.75\sigma$

Irgendeine Hilfe?

Die klassische Referenz ist Royston (1982) [1], dessen Algorithmen über explizite Formeln hinausgehen. Es zitiert auch eine bekannte Formel von Blom (1958): mit . Diese Formel ergibt einen Multiplikator von -2,73 für .α=0,375n=200,r=$E(r:n) \approx \mu + \Phi^{-1}(\frac{r-\alpha}{n-2\alpha+1})\sigma$$\alpha=0.375$$n=200, r=1$

[1]: Algorithmus AS 177: Erwartete normale Ordnungsstatistik (genau und ungefähr) JP Royston. Zeitschrift der Royal Statistical Society. Reihe C (Angewandte Statistik) Bd. 31, No. 2 (1982), S. 161-165

$$\newcommand{\Pr}{\mathrm{Pr}}\newcommand{\Beta}{\mathrm{Beta}}\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}$$ Die Verteilung der i-ten Ordnungsstatistik eines kontinuierlichen Zufalls Variable mit einem PDF wird durch die "Beta-F" -Verbindungsverteilung angegeben. Die intuitive Art, über diese Verteilung nachzudenken, besteht darin, die i-te Ordnungsstatistik in einer Stichprobe von . Damit nun der Wert der i-ten Ordnungsstatistik einer Zufallsvariablen gleich , brauchen wir 3 Bedingungen:$N$$X$$x$

1. $i-1$ Werte unter , dies hat die Wahrscheinlichkeit für jede Beobachtung, wobei die CDF der Zufallsvariablen X ist.$x$$F_{X}(x)$$F_X(x)=\Pr(X<x)$
2. $N-i$ Werte über , dies hat Wahrscheinlichkeit$x$$1-F_{X}(x)$
3. 1 Wert innerhalb eines infinitesimalen Intervalls, das , hat diese Wahrscheinlichkeit wobei ist das PDF der Zufallsvariablen$x$$f_{X}(x)dx$$f_{X}(x)dx=dF_{X}(x)=\Pr(x<X<x+dx)$$X$

Es gibt Möglichkeiten, diese Auswahl zu treffen. Wir haben also:${N \choose 1}{N-1 \choose i-1}$

$$f_{i}(x_{i})=\frac{N!}{(i-1)!(N-i)!}f_{X}(x_{i})\left[1-F_{X}(x_{i})\right]^{N-i}\left[F_{X}(x_{i})\right]^{i-1}dx$$

BEARBEITEN In meinem ursprünglichen Beitrag habe ich einen sehr schlechten Versuch unternommen, von diesem Punkt aus weiterzugehen, und die folgenden Kommentare spiegeln dies wider. Ich habe versucht, dies unten zu korrigieren

Wenn wir den Mittelwert dieses PDFs nehmen, erhalten wir:

$$E(X_{i})=\int_{-\infty}^{\infty} x_{i}f_{i}(x_{i})dx_{i}$$

Und in diesem Integral nehmen wir die folgende Änderung der Variablen (unter Berücksichtigung von @ henrys Hinweis), und das Integral wird:$p_{i}=F_{X}(x_{i})$

$$E(X_{i})=\int_{0}^{1} F_{X}^{-1}(p_{i})\Beta(p_{i}|i,N-i+1)dp_{i}=E_{\Beta(p_{i}|i,N-i+1)}\left[F_{X}^{-1}(p_{i})\right]$$

Dies ist also der erwartete Wert der inversen CDF, der mit der Delta-Methode gut angenähert werden kann, um Folgendes zu ergeben:

$$E_{\Beta(p_{i}|i,N-i+1)}\left[F_{X}^{-1}(p_{i})\right]\approx F_{X}^{-1}\left[E_{\Beta(p_{i}|i,N-i+1)}\right]=F_{X}^{-1}\left[\frac{i}{N+1}\right]$$

Um eine bessere Annäherung zu erreichen, können wir auf die 2. Ordnung erweitern (Primzahl, die die Differenzierung bezeichnet) und feststellen, dass die zweite Ableitung einer Inversen wie folgt lautet:

$$\frac{\partial^{2}}{\partial a^{2}}F_{X}^{-1}(a)=-\frac{F_{X}^{''}(F_{X}^{-1}(a))}{\left[F_{X}^{'}(F_{X}^{-1}(a))\right]^{3}}=-\frac{f_{X}^{'}(F_{X}^{-1}(a))}{\left[f_{X}(F_{X}^{-1}(a))\right]^{3}}$$

Sei . Dann haben wir:$\nu_{i}=F_{X}^{-1}\left[\frac{i}{N+1}\right]$

$$E_{\Beta(p_{i}|i,N-i+1)}\left[F_{X}^{-1}(p_{i})\right]\approx F_{X}^{-1}\left[\nu_{i}\right]-\frac{\Var_{\Beta(p_{i}|i,N-i+1)}\left[p_{i}\right]}{2}\frac{f_{X}^{'}(\nu_{i})}{\left[f_{X}(\nu_{i})\right]^{3}}$$ $$=\nu_{i}-\frac{\left(\frac{i}{N+1}\right)\left(1-\frac{i}{N+1}\right)}{2(N+2)}\frac{f_{X}^{'}(\nu_{i})}{\left[f_{X}(\nu_{i})\right]^{3}}$$

Spezialisiert auf den Normalfall haben wir nun

$$f_{X}(x)=\frac{1}{\sigma}\phi(\frac{x-\mu}{\sigma})\rightarrow f_{X}^{'}(x)=-\frac{x-\mu}{\sigma^{3}}\phi(\frac{x-\mu}{\sigma})=-\frac{x-\mu}{\sigma^{2}}f_{X}(x)$$ $$F_{X}(x)=\Phi(\frac{x-\mu}{\sigma})\implies F_{X}^{-1}(x)=\mu+\sigma\Phi^{-1}(x)$$

Beachten Sie, dass Und die Erwartung wird ungefähr:$f_{X}(\nu_{i})=\frac{1}{\sigma}\phi\left[\Phi^{-1}\left(\frac{i}{N+1}\right)\right]$

$$E[x_{i}]\approx \mu+\sigma\Phi^{-1}\left(\frac{i}{N+1}\right)+\frac{\left(\frac{i}{N+1}\right)\left(1-\frac{i}{N+1}\right)}{2(N+2)}\frac{\sigma\Phi^{-1}\left(\frac{i}{N+1}\right)}{\left[\phi\left[\Phi^{-1}\left(\frac{i}{N+1}\right)\right]\right]^{2}}$$

Und schlussendlich:

$$E[x_{i}]\approx \mu+\sigma\Phi^{-1}\left(\frac{i}{N+1}\right)\left[1+\frac{\left(\frac{i}{N+1}\right)\left(1-\frac{i}{N+1}\right)}{2(N+2)\left[\phi\left[\Phi^{-1}\left(\frac{i}{N+1}\right)\right]\right]^{2}}\right]$$

Obwohl wie @whuber bemerkt hat, wird dies in den Schwänzen nicht genau sein. Tatsächlich denke ich, dass es wegen der Schiefe einer Beta mit verschiedenen Parametern schlimmer sein kann

Anikos Antwort basiert auf Bloms bekannter Formel, die eine Auswahl von . Es stellt sich heraus , dass diese Formel ist selbst eine bloße Annäherung an einer genauen Antwort aufgrund G. Elfving (1947), Die asymptotische Verteilung des Bereichs in Proben aus einer normalen Population , Biometrika, Vol. 34, S. 111-119. Die Formel von Elfving zielt auf das Minimum und Maximum der Stichprobe ab, für die die richtige Wahl von Alpha . Bloms Formel ergibt sich, wenn wir durch approximieren .$\alpha = 3/8$$\pi/8$$\pi$$3$

Wenn wir die Elfenformel anstelle der Blomschen Näherung verwenden, erhalten wir einen Multiplikator von -2,744165. Diese Zahl liegt näher an Erik Ps exakter Antwort (-2,746) und an der Monte-Carlo-Näherung (-2,75) als an Bloms Näherung (-2,73), ist jedoch einfacher zu implementieren als die exakte Formel.

Je nachdem, was Sie tun möchten, kann diese Antwort hilfreich sein oder auch nicht - ich habe die folgende exakte Formel aus dem Statistikpaket von Maple erhalten .

with(Statistics):
X := OrderStatistic(Normal(0, 1), 1, n):
m := Mean(X):
m;

$$\int _{-\infty }^{\infty }\!1/2\,{\frac {{\it \_t0}\,n!\,\sqrt {2}{ {\rm e}^{-1/2\,{{\it \_t0}}^{2}}} \left( 1/2-1/2\, {{\rm erf}\left(1/2\,{\it \_t0}\,\sqrt {2}\right)} \right) ^{-1+n}}{ \left( -1+n \right) !\,\sqrt {\pi }}}{d{\it \_t0}}$$

An sich ist dies nicht sehr nützlich (und es könnte wahrscheinlich ziemlich leicht von Hand abgeleitet werden, da es das Minimum von Zufallsvariablen ist), aber es ermöglicht eine schnelle und sehr genaue Approximation für gegebene Werte von - viel genauer als Monte Carlo:$n$$n$

evalf(eval(m, n = 200));
evalf[25](eval(m, n = 200));

ergibt -2,746042447 bzw. -2,746042447451154492412344.

(Vollständige Offenlegung - ich behalte dieses Paket bei.)