Kann ein fairer Münztest auf eine Münze angewendet werden, die häufig am Rand landet?

Wenn Sie eine Münze werfen und 268 Köpfe und 98 Schwänze erhalten, können Sie die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die Münze auf verschiedene Weise fair ist. Eine einfache heuristische Beobachtung hätte höchstwahrscheinlich den Schluss gezogen, dass eine solche Münze unfair ist. Ich habe den p-Wert in R berechnet mit:

> coin <- pbinom(98, 366, 0.5)
> coin*2
[1] 2.214369e-19

Dieser Wert ist kleiner als 0,05, daher lehnen wir die Hypothese ab, dass es sich um eine faire Münze handelt.

Aber was ist, wenn Sie erfahren haben, dass dieselbe Münze während des Prozesses 676 Mal auf der Seite gelandet ist? Heuristisch werden Sie wahrscheinlich zu dem gleichen Schluss kommen, aber wären die typischen fairen Münztests immer noch gültig?

Hier ist eine Grafik, um das Problem zu veranschaulichen:

Was sind gültige Methoden, um die Hypothese zu testen, dass die gleiche Wahrscheinlichkeit besteht, dass ein Ereignis in den schattierten Bereichen auftritt?

HINWEIS: Die grafische Darstellung enthält 629 positive Bewegungen (413 negative).

R-Code, der die Daten generiert:

require("quantmod")

ticker <- getSymbols("SLV")[,6]

change <- (ticker - lag(ticker, 24)) / lag(ticker, 24)  
change <- na.locf(change, na.rm=TRUE)   

# some other calculations

dens <- density(change)
plot(dens)

# some formatting stuff

probability

— Milchhändler
quelle

Es ist klar, dass die Daten, auf denen dieses Diagramm basiert, nicht aus dem Werfen einer Münze stammen und kontinuierlich und nicht binär zu sein scheinen. Können Sie uns sagen, welche inhaltliche Frage Sie beantworten möchten? Es hilft hier nicht, es als stereotypes Beispiel zu bezeichnen.

— Onestop

Die Grafik wird aus der Berechnung der Höhe (in Prozent) des heutigen Schlusskurses im Vergleich zum Schlusskurs vor 24 Tagen abgeleitet. Optionspreismodelle gehen davon aus, dass eine Wahrscheinlichkeit von 50% besteht, dass eine Aktie in n Tagen 10% höher oder 10% niedriger sein wird. Diese Grafik ist eine Verteilung der tatsächlichen Preise. Können wir die Hypothese akzeptieren, dass die Wahrscheinlichkeit gleich ist, dass der Kurs einer Aktie in n Tagen 10% höher oder 10% niedriger sein wird?

— Milktrader

@Milktrader Erstens gehen Optionsmodelle nicht davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit einer Aufwärtsrendite von 10% gleich hoch ist wie eine Abwärtsrendite von einem gleichen Prozentsatz. In der Tat funktionieren Optionsmodelle unter einem No-Arbitrage-Rahmen nicht einmal mit der tatsächlichen Verteilung der Renditen. Darüber hinaus geht auch die risikoneutrale Maßnahme generell davon aus, dass die Preise eher steigen als fallen. Schließlich macht Ihr Kommentar zwei sehr unterschiedliche Aussagen über die Renditen, obwohl Sie sie anscheinend als gleich betrachten. Vielleicht können Sie Ihre Frage umformulieren und klären.

— Kardinal

@cardinal Ich interessiere mich mit dieser Frage eigentlich mehr für Wahrscheinlichkeitstheorie als für Optionspreismodelle, obwohl das Thema Optionspreismodelle interessant ist. Sie haben wahrscheinlich ein robusteres Optionspreismodell, aber meins zeigt, dass ein SLV mit einer Wahrscheinlichkeit von 14,81%> 40,04 und eine Wahrscheinlichkeit von 14,52% bis zum Ablauf des APR (20 Tage) <32,75 schließt. Gerne formuliere ich meine Frage auch um, um sie zu klären, bin mir aber nicht sicher, wie ich zwei eindeutige Aussagen zu Retouren gemacht habe.

— Milktrader

@Milktrader, ich versuche nur herauszufinden, welches Problem Sie lösen möchten. Mein Verweis auf Optionspreismodelle sollte sich eigentlich auch auf die grundlegendsten und "Standard" -Modelle beziehen. Derzeit scheinen sie eine symmetrische Verteilung anzunehmen, aber das liegt nur daran, dass die Zinssätze nahe Null sind.

— Kardinal

Antworten:

Ich bin mir ziemlich sicher, dass die Antwort ja lautet . Der Standard-Binomial-Test für faire Münzen ist immer noch gültig: Wenn Sie testen möchten, ob zwei der drei Wahrscheinlichkeiten einer Multinomialverteilung gleich sind, aber keine Hypothesen darüber interessiert sind Mit der dritten Wahrscheinlichkeit können Sie die Zahlen der beiden entsprechenden Ergebnisse so analysieren, als ob sie aus einer Binomialverteilung stammen .

Tatsächlich scheint dies eine gute Übung für ausreichende Statistiken und bedingte Wahrscheinlichkeiten zu sein:

Sie können sich dies als eine multinomiale Verteilung mit drei möglichen Ergebnissen und damit zwei schätzbaren Parametern vorstellen (da die drei Wahrscheinlichkeiten 1 ergeben müssen). Sie sind jedoch nicht an der Wahrscheinlichkeit des "mittleren" Ergebnisses interessiert, daher können Sie dies als störenden Parameter und die Differenz zwischen der Anzahl der "oberen" und "unteren" Ergebnisse als den interessierenden Parameter betrachten.

Es ist einfach zu zeigen (unter Verwendung des Fisher-Neyman-Faktorisierungssatzes ), dass die Anzahl der 'oberen' und 'unteren' Ergebnisse zusammen eine (zweidimensionale) ausreichende Statistik für den interessierenden Parameter bildet, dh die Anzahl der 'mittleren' Ergebnisse nicht Geben Sie keine zusätzlichen Informationen zum Wert des interessierenden Parameters an. Die Anzahl der "mittleren" Ergebnisse ist eindeutig eine ausreichende Statistik für den Störparameter. Wenn wir von letzterem abhängig machen, denke ich (habe es nicht richtig überprüft), dass die resultierende bedingte Wahrscheinlichkeit die gleiche ist wie die Wahrscheinlichkeit für die Binomialverteilung, dh das Problem des Münzwurfs.

— ein Stop
quelle

Dies ist sehr einfach, da ich keine Berechnung durchgeführt habe. Alles, was Sie geschrieben haben, klingt gut. Die einzige Frage, die mir anfangs in den Sinn kommt, ist, dass die Varianzschätzung anscheinend anders aussehen könnte, als wenn Sie die dem dritten Ergebnis entsprechenden Stichproben "weggeworfen" hätten.

— Kardinal

Ja, dies ist die formale Beschreibung meines Problems. Kann eine Multinomialverteilung auf eine Binomialverteilung reduziert werden? Was mich betrifft, ist die Größe des "mittleren" Ergebnisses.

— Milktrader

Ich akzeptiere dies als "Ja, das können Sie, vorausgesetzt, Ihre bedingte Wahrscheinlichkeit entspricht der Wahrscheinlichkeit der Binomialverteilung". Ich bin mir nicht sicher, wie Sie diesen Test einrichten würden, aber das geht über den Rahmen meiner ursprünglichen Frage hinaus.

— Milktrader

Obwohl die Erklärung der Antwort eine bedingte Wahrscheinlichkeit beinhaltete, beabsichtigte ich meine Antwort auf Ihre Frage "Würden die typischen fairen Münztests noch gültig sein?" eine sein un bedingt ja !

— Onestop

Wenn Sie dies als Binomialproblem (p, 1-p) und nicht als Multinomialproblem einrahmen, können Sie nur die Vergangenheit beschreiben. Sie werden nichts über die Zukunft sagen können. Warum? Das Entfernen der mittleren "Edge Flips" ist mit Ihrer Umgruppierung der Daten verbunden.

Mit anderen Worten, Ihre "Daten beschrieben" Wahrscheinlichkeit "p" eines positiven Ergebnisses und Wahrscheinlichkeit "1-p" eines negativen Ergebnisses gelten nicht für den nächsten "Binomialwurf der Münze", da Sie in Zukunft wirklich Wahrscheinlichkeiten haben "x", "y" und "(1-xy)".

Bearbeiten (27.03.2011) ===============================

Ich habe das folgende Diagramm hinzugefügt, um meine Kommentare unten zu erläutern.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

— bill_080
quelle

Ich kann also nicht behaupten, dass P (positiver Zug | 10% Zug)? Oder wenn ich weiß, dass es eine Bewegung von 10% gibt, kann ich sagen, dass eine solche Bewegung eine (268/366) Wahrscheinlichkeit hat, positiv zu sein. Aber ich denke, ich kann immer P (10% Bewegung | positive Bewegung) beanspruchen, nein? Wenn der Zug positiv ist, besteht eine (268/629) Wahrscheinlichkeit, dass der Zug 10% überschreitet. (Ich habe nicht die gesamten positiven Ergebnisse in der Grafik ausgedruckt, weil ich nicht so weit voraus gedacht habe).

— Milktrader

@Milktrader: Ihr ursprünglicher Prozess und Ihre ursprünglichen Zahlen basieren auf einem konsistenten täglichen Abschluss. Wenn Sie in Zukunft einen Abschluss erhalten, basiert dieser auch auf einem täglichen Abschluss. Beides basiert nicht auf einem "Preferred Close" (für das nachträglich BEKANNTE Informationen erforderlich sind). Sie können den Prozess als Multinomial oder eineinhalb Binomialzahlen darstellen (ein Binomialprozess zur Auswahl des Pfads "Bevorzugt" im Vergleich zu "Nicht bevorzugt" und ein weiterer Binomialprozess unter Verwendung Ihrer "Bevorzugten Wahrscheinlichkeiten"). Versuch es. Ist es möglich, den Gesamtprozess nur mit den "Bevorzugten Wahrscheinlichkeiten" zu simulieren?

— bill_080

Wenn sich diese Aktie in den nächsten 24 Tagen um 10% bewegt, kann ich dann behaupten, dass die Wahrscheinlichkeit, dass sie sich nach oben bewegt, 268/366 beträgt? Ich möchte keine Zeitrahmen mischen. (gerade den zweiten Teil Ihres Kommentars

— durchsehen

@Milktrader: Aus den obigen Daten geht hervor, dass Sie für ein 24-Tage-Delta 268 Höhen, 98 Tiefen und 676 Nullen (insgesamt 1042 Ereignisse) haben. Unter der Annahme, dass an jedem Handelstag in der ZUKUNFT vor dem Handelstag keine strukturellen Änderungen vorgenommen wurden, stehen Sie vor den Wahrscheinlichkeiten von 268/1042 Ups, 98/1042 Downs. Die verbleibenden 676/1042 Nullen werden häufiger angezeigt. All dies befasst sich mit der Zukunft. Nach dem Abschluss wissen Sie, ob es ein "bevorzugter Tag" ist, aber auch dies ist nach dem Abschluss (nicht nach der Zukunft). Ihre "Bevorzugten Wahrscheinlichkeiten" gelten nur nachträglich (in der Vergangenheit). Ich habe in meiner obigen Antwort ein Diagramm hinzugefügt, um dies zu erklären.

— bill_080