Hat Differentialgeometrie etwas mit Statistik zu tun?

Ich mache einen Master in Statistik und mir wird geraten, Differentialgeometrie zu lernen. Ich würde mich über statistische Anwendungen für die Differentialgeometrie sehr freuen, da dies mich motivieren würde. Kennt jemand Anwendungen für Differentialgeometrie in der Statistik?

Zwei kanonische Bücher zu diesem Thema mit Rezensionen, dann zwei weitere Referenzen:

• Differentialgeometrie und Statistik , MK Murray, JW Rice

  Seit der Einführung der Fisher-Informationsmetrik für eine Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch Rao im Jahr 1945 besteht unter den Statistikern ein Interesse an der Anwendung der Differentialgeometrie auf die Statistik. Dieses Interesse hat in den letzten Jahrzehnten mit der Arbeit einer großen Anzahl von Forschern rapide zugenommen. Ein Hindernis für die Verbreitung dieser Ideen in der breiteren Gemeinschaft der Statistiker ist bislang das Fehlen eines geeigneten Textes, der den modernen koordinatenfreien Ansatz für die Differentialgeometrie auf eine Art und Weise einführt, die für Statistiker zugänglich ist. Dieses Buch soll diese Lücke schließen. Die Autoren bringen umfangreiche Forschungserfahrungen in der Differentialgeometrie und deren Anwendung auf die Statistik in das Buch ein. Das Buch beginnt mit der Untersuchung der einfachsten differentiellen Mannigfaltigkeiten - affine Räume und ihre Relevanz für Exponentialfamilien und geht auf die allgemeine Theorie, die Fisher-Informationsmetrik, die Amari-Verbindung und die Asymptotik ein. Es gipfelt in der Theorie der Vektorbündel, Prinzipbündel und Jets und deren Anwendung auf die Stringtheorie - ein Thema, das derzeit auf dem neuesten Stand der Forschung in Statistik und Differentialgeometrie ist.

• Methods of Information Geometry , S.-I. Amari, H. Nagaoka

  Die Informationsgeometrie bietet den mathematischen Wissenschaften einen neuen Analyserahmen. Es ist aus der Untersuchung der natürlichen Differentialgeometriestruktur auf Mannigfaltigkeiten von Wahrscheinlichkeitsverteilungen hervorgegangen, die aus einer Riemannschen Metrik, die durch die Fisher-Information definiert ist, und einer Ein-Parameter-Familie affiner Verbindungen besteht, die als -Verbindungen bezeichnet werden. Die Dualität zwischen der -Verbindung und derα ( - α $\alpha$$\alpha$$(-\alpha)$-Verbindung zusammen mit der Metrik spielen eine wesentliche Rolle in dieser Geometrie. Diese Art von Dualität, die aus einer Vielzahl von Wahrscheinlichkeitsverteilungen hervorgegangen ist, ist allgegenwärtig und tritt in einer Vielzahl von Problemen auf, die möglicherweise keinen expliziten Bezug zur Wahrscheinlichkeitstheorie haben. Durch die Dualität ist es möglich, verschiedene grundlegende Probleme in einer einheitlichen Perspektive zu analysieren. Die erste Hälfte dieses Buches widmet sich einer umfassenden Einführung in die mathematischen Grundlagen der Informationsgeometrie, einschließlich der Vorkenntnisse aus der Differentialgeometrie, der Geometrie von Mannigfaltigkeiten oder Wahrscheinlichkeitsverteilungen und der allgemeinen Theorie der dualen affinen Verbindungen. Die zweite Hälfte des Textes bietet einen Überblick über viele Anwendungsbereiche wie Statistik, Lineare Systeme, Informationstheorie, Quantenmechanik, Konvexanalyse, Neuronale Netze, und affine Differentialgeometrie. Das Buch kann als geeigneter Text für einen Themenkurs für fortgeschrittene Studenten und Doktoranden dienen.

• Differentialgeometrie in der statistischen Inferenz , S.-I. Amari, OE Barndorff-Nielsen, RE Kass, SL Lauritzen und CR Rao, IMS Lecture Notes Monogr. Ser. Volume 10, 1987, 240 pp.

• Die Rolle der Differentialgeometrie in der statistischen Theorie , OE Barndorff-Nielsen, Dr. 1 (April 1986), S. 83-96

Die Riemannsche Geometrie wird zur Untersuchung von Zufallsfeldern (eine Verallgemeinerung stochastischer Prozesse) verwendet, bei denen der Prozess nicht stationär sein muss. Die Referenz, die ich studiere, wird unten mit zwei Berichten angegeben. Es gibt Anwendungen in der Ozeanographie, Astrophysik und Hirnbildgebung.

Zufallsfelder und Geometrie , Adler, RJ, Taylor, Jonathan E.

http://www.springer.com/us/book/9780387481128#otherversion=9781441923691

Rezensionen:

Die Entwicklung guter Grenzen für die Verteilung des Supremas eines Gaußschen Feldes , dh für die Menge , erfolgte für a lange Zeit sowohl ein schwieriges als auch ein interessantes Forschungsthema Eine gründliche Darstellung dieses Problems ist das Hauptziel des vorliegenden Buches, wie die Autoren in ihrem Vorwort darlegen. Die Autoren entwickeln ihre Ergebnisse im Kontext von glatten Gaußschen Feldern , wobei die Parameterräume$f$$\Bbb{P}\{\sup_{t\in M}f(t)\ge u\}$$M$sind geschichtete Riemannsche Mannigfaltigkeiten, und ihr Ansatz ist geometrischer Natur. Das Buch ist in drei Teile gegliedert. Teil I widmet sich der Darstellung der notwendigen Werkzeuge von Gaußschen Prozessen und Feldern. In Teil II werden die erforderlichen Voraussetzungen für die Integral- und Differentialgeometrie kurz dargestellt. Schließlich wird in Teil III der Kern des Buches, eine Formel für die Erwartung der Euler-charakteristischen Funktion einer Exkursionsmenge und ihre Annäherung an die Verteilung der Feldmaxima, genau festgelegt. Das Buch ist in einem informellen Stil geschrieben, der eine sehr angenehme Lektüre ermöglicht. Jedes Kapitel beginnt mit einer Darstellung der zu behandelnden Themen, und die Fußnoten, die sich im gesamten Text befinden, sind eine unverzichtbare Ergänzung und oftmals eine historische Referenz.

"Dieses Buch präsentiert die moderne Theorie der Exkursionswahrscheinlichkeiten und die Geometrie von Exkursionsmengen für ... zufällige Felder, die auf Mannigfaltigkeiten definiert sind. ... Das Buch ist für Studenten verständlich ... mit einem guten Hintergrund in der Analyse. ... Der interdisziplinäre Charakter dieses Buches Die Schönheit und Tiefe der vorgestellten mathematischen Theorie machen sie zu einem unverzichtbaren Bestandteil jeder mathematischen Bibliothek und zu einem Bücherregal aller Probabilisten, die an Gaußschen Prozessen, Zufallsfeldern und ihren statistischen Anwendungen interessiert sind. " (Ilya S. Molchanov, Zentralblatt MATH, Bd. 1149, 2008)

Ein Bereich der Statistik / Angewandten Mathematik, in dem die Differentialgeometrie (zusammen mit vielen anderen Bereichen der Mathematik!) Wesentlich genutzt wird, ist die Mustertheorie . Sie können sich das Buch von Ulf Grenander ansehen: https://www.amazon.com/Pattern-Theory-Representation-Inference-European/dp/0199297061/ref=asap_bc?ie=UTF8 oder den etwas zugänglicheren Text von David Mumford (a Felder Medaillengewinner nicht weniger): https://www.amazon.com/Pattern-Theory-Stochastic-Real-World-Mathematics/dp/1568815794/ref=pd_bxgy_14_img_2?_encoding=UTF8&pd_rd_i=1568815794&pd_rd_r=Q40ESHME10ZPC7XYVT59&pd_rd_w=fBcaR&pd_rd_wg = LIesY & psc = 1 & refRID = Q40ESHME10ZPC7XYVT59

Aus dem Vorwort des letzten Textes:

Der Begriff „Mustertheorie“ wurde von Ulf Grenander geprägt, um seinen Ansatz zur Analyse strukturierter Strukturen in der Welt von der „Mustererkennung“ zu unterscheiden alle „Signale“, die von der Welt erzeugt werden, ob Bilder, Töne, geschriebene Texte, DNA- oder Proteinketten, Spitzenzüge in Neuronen oder Zeitreihen von Preisen oder Wetter; Beispiele aus all diesen Quellen finden sich entweder in Grenanders Buch Elements of Pattern Theory [94] oder in der Arbeit unserer Kollegen, Mitarbeiter und Studenten zur Mustertheorie.

Ein Beispiel für die Verwendung von Differentialgeometrie sind Gesichtsmodelle.

Wenn Sie versuchen, die Frage (in Kommentaren) von @whuber zu beantworten, lesen Sie Kapitel 16 von Grenanders Buch mit dem Titel "Computeranatomie". Dort werden Mannigfaltigkeiten verwendet, um verschiedene Teile der menschlichen Anatomie (wie den Herd) darzustellen, und Diffeomorhismen, die verwendet werden, um Veränderungen dieser anatomischen Mannigfaltigkeiten darzustellen, um einen Vergleich, eine Modellierung des Wachstums und eine Modellierung der Wirkung einiger Krankheiten zu ermöglichen. Diese Ideen lassen sich auf D'Arcy Thompsons monumentale Abhandlung "über Wachstum und Form" von 1917 zurückführen!

Grenander zitiert aus dieser Abhandlung:

In einem sehr großen Teil der Morphologie liegt unsere wesentliche Aufgabe im Vergleich verwandter Formen und nicht in der genauen Definition jeder Form. und die Verformung einer komplizierten Figur kann ein Phänomen sein, das leicht zu verstehen ist, obwohl die Figur selbst möglicherweise nicht analysiert und nicht definiert werden muss. Dieser Prozess des Vergleichens, des Erkennens einer bestimmten Permutation oder Verformung einer anderen Form, abgesehen von einem genauen und angemessenen Verständnis des ursprünglichen "Typs" oder Vergleichsstandards, liegt in der unmittelbaren Provinz der Mathematik und findet seine Lösung in der elementare Verwendung einer bestimmten Methode des Mathematikers. Diese Methode ist die Methode der Koordinaten, auf der die Theorie der Transformationen basiert.

Das bekannteste Beispiel für diese Idee ist, wenn ein Kind verschwunden ist, etwa vor drei Jahren, und ein Foto seines Gesichts veröffentlicht wird, das (normalerweise mit Splines) so umgewandelt wurde, wie es heute aussehen könnte.