Warum ist ( wird zensiert)

In einem Problemsatz habe ich dieses "Lemma" bewiesen, dessen Ergebnis für mich nicht intuitiv ist. ist eine Standardnormalverteilung in einem zensierten Modell. $Z$

Formal ist und . Dann Es besteht also eine Verbindung zwischen der Erwartungsformel über einer abgeschnittenen Domäne und der Dichte am Punkt der Kürzung . Könnte jemand die Intuition dahinter erklären? $Z^* \sim Norm(0, \sigma^2)$ $Z = max(Z^*, c)$

\begin{aligned} E [Z | Z > c] & = \int_{c}^{\infty} z_{i} ϕ (z_{i}) d z_{i} \\ = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{c}^{\infty} z_{i} \exp (\frac{- 1}{2} z_{i}^{2}) d z_{i} \\ = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp (\frac{- 1}{2} c^{2}) (Integration by substitution) \\ = ϕ (c) \end{aligned}

$\begin{align} E[Z|Z>c] &= \int_c^\infty z_i \phi({z_i})\mathrm{d}z_i \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_c^\infty z_i \exp\!\bigg(\frac{-1}{2}z_i^2\bigg)\mathrm{d}z_i \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\!\bigg(\frac{-1}{2}c^2\bigg) \quad\quad\quad\quad\text{ (Integration by substitution)}\\ &= \phi(c) \end{align}$

(c)

$(c)$

normal-distribution pdf intuition

— Heisenberg
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Dass es sich so herausstellt, ist eine Folge der Tatsache, dass der Term das Negativ der Ableitung des Terms im Exponenten ist; Es ist eines von vielen guten Ergebnissen für den Standard normal, aber es muss nicht unbedingt eine Intuition dahinter haben. Andererseits würde es mich überhaupt nicht überraschen, wenn einer der klugen Leute hier eine Art Intuition dafür finden könnte.

z

$z$

— Glen_b -State Monica

@Glen_b Was Sie sagen, ist, dass wobei das PDF jeder kontinuierlichen Verteilung

\int_{c}^{\infty} (- \frac{d}{d z} \log (f (z))) f (z) d z = - \int_{c}^{\infty} f^{'} (z) d z = f (c)

$\int_c^\infty \left(-\frac{d}{dz}\log(f(z))\right) f(z) dz = -\int_c^\infty f^\prime(z)dz = f(c)$

f

$f$

F .

$F.$

— whuber

@whuber Das ist sicherlich der Fall, und es lohnt sich, dieses Ergebnis hervorzuheben, da es direkt für das Ergebnis in der Frage relevant ist, aber tatsächlich habe ich mich in meinem Kommentar speziell auf den Fall bezogen, in dem der erste dieser Begriffe (seit dem Begriff " Die Erwartungsformel "war in der Frage, ich nahm an, dass es sich um , was spezifisch für das Normale ist.

z

$z$

E (Z | Z > c)

$E(Z|Z>c)$

— Glen_b

(zumindest bis zur offensichtlichen multiplikativen Konstante über diese bedingte Erwartung). lohnt sich jedoch wahrscheinlich , für dieses bestimmte in einer Antwort zu diskutieren.

E (g (Z) | Z > c)

$E(g(Z)|Z>c)$

g = - \frac{d}{d z} l o g f

$g=-\frac{d}{dz}log f$

— Glen_b -State Monica

Bei Ihrer letzten Bearbeitung werden Sie um einen Beweis (oder eine intuitive Erklärung) für eine falsche Aussage gebeten. Die bedingte Dichte von konditioniert auf ist und der bedingte erwartete Wert ist somit und nicht das, was Sie in Ihrem überarbeiteten Titel haben.

Z \sim N (0, 1)

$Z \sim N(0,1)$

Z > c

$Z > c$

\frac{ϕ (z)}{1 - Φ (c)} 1_{{z : z > c}}

$\frac{\phi(z)}{1-\Phi(c)}\mathbf 1_{\{z\colon z > c\}}$

E [Z ∣ Z > c] = \int_{c}^{\infty} z \frac{ϕ (z)}{1 - Φ (c)} d z = \frac{1}{1 - Φ (c)} \int_{c}^{\infty} z ϕ (z) d z

$E[Z\mid Z > c] = \int_c^{\infty}z\frac{\phi(z)}{1-\Phi(c)}\,\mathrm dz = \frac{1}{1-\Phi(c)}\int_c^{\infty}z\phi(z)\,\mathrm dz$

— Dilip Sarwate

Würde der Fundamentalsatz der Analysis für Sie als Intuition funktionieren?

Let bezeichnet die Dichtefunktion eines Standardnormalzufallsvariable. Dann ist die Ableitung . Der Fundamentalsatz der Analysis gibt uns dann, dass wobei das zweite Integral erhalten wird , wenn und die Tatsache verwendet wird, dass und der dritte nach Feststellung, dass . Alternativ schreiben Sie das zweite Integral als Integral von nach $\phi(x)$ $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\phi(x) = -x\phi(x)$

ϕ (x) = \int_{- \infty}^{x} - t ϕ (t) d t = \int_{- x}^{\infty} u ϕ (u) d u = \int_{x}^{\infty} u ϕ (u) d u

$\phi(x) = \int_{-\infty}^x -t\phi(t)\,\mathrm dt = \int_{-x}^\infty u\phi(u)\,\mathrm du = \int_x^\infty u\phi(u)\,\mathrm du$

u = - t

$u = -t$

ϕ (- u) = ϕ (u)

$\phi(-u) = \phi(u)$

ϕ (- x) = ϕ (x)

$\phi(-x) = \phi(x)$

- x

$-x$

+ x

$+x$ plus das Integral von bis , und beachten Sie, dass die Integration einer ungeraden Funktion von bis zu .

+ x

$+x$

\infty

$\infty$

- x

$-x$

+ x

$+x$

0

$0$

— Dilip Sarwate
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