Einfache Beispiele für nicht korreliertes, aber nicht unabhängiges

Jeder fleißige Student ist ein Gegenbeispiel zu "alle Studenten sind faul".

Was sind einige einfache Gegenbeispiele zu "Wenn die Zufallsvariablen $X$ und $Y$ nicht korreliert sind, sind sie unabhängig"?

Lass .$X\sim U(-1,1)$

Sei .$Y=X^2$

Die Variablen sind nicht korreliert, aber abhängig.

Alternativ kann eine diskrete bivariate Verteilung betrachtet werden, die aus einer Wahrscheinlichkeit bei 3 Punkten (-1,1), (0, -1), (1,1) mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/4, 1/2 bzw. 1/4 besteht. Dann sind Variablen unkorreliert, aber abhängig.

Betrachten Sie bivariate Daten, die in einer Raute einheitlich sind (ein um 45 Grad gedrehtes Quadrat). Die Variablen sind nicht korreliert, aber abhängig.

Das sind die einfachsten Fälle, die mir einfallen.

Ich denke, die Essenz einiger der einfachen Gegenbeispiele kann gesehen werden, indem mit einer kontinuierlichen Zufallsvariablen die auf Null zentriert ist, dh E [ X ] = 0 . Angenommen, das PDF von X ist gerade und in einem Intervall der Form ( - a , a ) definiert , wobei a > 0 ist . Nehmen wir nun an, Y = f ( X ) für eine Funktion f . Wir stellen nun die Frage: Für welche Art von Funktionen f ( X ) können wir C $X$$E[X]=0$$X$$(-a,a)$$a>0$$Y=f(X)$$f$$f(X)$ & le;$Cov(X,f(X))=0$

Wir wissen , dass . Unsere Annahme, dass E [ X ] = 0 ist, führt uns direkt zu C o v ( X , f ( X ) ) = E [ X $Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]-E[X]E[f(X)]$$E[X]=0$ . Bezeichnendie pdf von X über p ( ⋅ ) , haben wir$Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]$$X$$p(\cdot)$

.$Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]=\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx$

Wir wollen und ein Weg , dies zu erreichen , ist , indem sichergestellt wird f ( x ) eine gerade Funktion, was bedeutet , x f ( x ) p ( x ) ist eine ungerade Funktion. Daraus folgt, dass ∫ a - a x f ( x ) p ( x ) d x = 0 ( X , f $Cov(X,f(X))=0$$f(x)$$xf(x)p(x)$$\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx=0$ und damit .$Cov(X,f(X))=0$

Auf diese Weise können wir sehen, dass die genaue Verteilung von unwichtig ist, da das PDF um einen bestimmten Punkt symmetrisch ist und jede gerade Funktion f ( ⋅ ) für die Definition von Y ausreicht .$X$$f(\cdot)$$Y$

Hoffentlich können die Schüler so sehen, wie die Leute auf diese Art von Gegenbeispielen kommen.

Seien Sie das Gegenbeispiel (dh fleißiger Student)! Nachdem das gesagt worden ist:

Ich habe versucht, an ein Beispiel aus der realen Welt zu denken, und dies war das erste, das mir in den Sinn kam. Dies ist nicht der mathematisch einfachste Fall (aber wenn Sie dieses Beispiel verstehen, sollten Sie in der Lage sein, ein einfacheres Beispiel mit Urnen und Bällen oder so etwas zu finden).

Nach einigen Untersuchungen ist der durchschnittliche IQ von Männern und Frauen derselbe, aber die Varianz des männlichen IQ ist größer als die Varianz des weiblichen IQ. Der Vollständigkeit halber sei angenommen, dass der männliche IQ auf folgt und der weibliche IQ auf N ( 100 , α σ 2 ) mit α < 1 folgt . Die Hälfte der Bevölkerung ist männlich und die Hälfte weiblich.$N(100, \sigma^2)$$N(100, \alpha \sigma^2)$$\alpha<1$

Vorausgesetzt, diese Untersuchung ist richtig:

Wie hängen Geschlecht und IQ zusammen?

Sind Geschlecht und IQ unabhängig?

Wir können eine diskrete Zufallsvariable mit P ( X = - 1 ) = P ( X = 0 ) = P ( X = 1 ) = $X\in\{-1,0,1\}$$\mathbb{P}(X=-1)=\mathbb{P}(X=0)=\mathbb{P}(X=1)=\frac{1}{3}$

und dann definiere $Y=\begin{cases}1,\quad\text{if}\quad X=0\\0,\quad\text{otherwise}\end{cases}$

Es kann leicht überprüft werden, dass und Y nicht korreliert, aber nicht unabhängig sind.$X$$Y$

Versuchen Sie dies (R-Code):

x=c(1,0,-1,0);  
y=c(0,1,0,-1);  

cor(x,y);  
[1] 0

$x^2+y^2-r^2=0$

$Y$$x$

Der einzige allgemeine Fall, in dem fehlende Korrelation Unabhängigkeit impliziert, ist, wenn die gemeinsame Verteilung von X und Y Gaußsch ist.

A two-sentence answer: the clearest case of uncorrelated statistical dependence is a non-linear function of a RV, say Y = X^n. The two RVs are clearly dependent but yet not correlated, because correlation is a linear relationship.