Kurtosis der erfundenen Verteilung

Schauen Sie sich das Bild unten an. Die blaue Linie zeigt das normale Standard-PDF an. Die rote Zone soll gleich der Summe der Grauzonen sein (Entschuldigung für das schreckliche Zeichnen).

Ich frage mich, ob wir eine neue Verteilung mit höherem Peak erstellen können, indem wir Grauzonen an die Spitze (rote Zone) des normalen PDFs verschieben.

Wenn eine solche Transformation durchgeführt werden kann, was halten Sie dann von der Kurtosis dieser neuen Distribution? Leptokurtisch? Aber es hat die gleichen Schwänze wie die Normalverteilung! Nicht definiert?

Es wird unendlich viele Verteilungen geben, die Ihrer Zeichnung sehr ähnlich sehen, mit einer Vielzahl unterschiedlicher Werte für Kurtosis.

Unter den besonderen Bedingungen in Ihrer Frage und angesichts der Tatsache, dass der Übergangspunkt innerhalb oder zumindest nicht zu weit außerhalb von$\pm 1$ , sollte es vorkommen, dass Sie eine etwas größere Kurtosis erhalten als bei der normalen. Ich werde drei Fälle zeigen, in denen dies geschieht, und dann einen zeigen, in dem es kleiner ist - und erklären, warum dies geschieht.

Da und das normale Standard-PDF bzw. -Cdf sind, schreiben wir uns eine kleine FunktionΦ ( x $\phi(x)$$\Phi(x)$

$$f(x) = \begin{cases} \phi(x) &\mbox{;}\quad |x| > t \\ a+b.g(x) & \mbox{;}\quad |x| ≤ t \end{cases} \ $$

für eine kontinuierliche, symmetrische Dichte (mit entsprechendem cdf ) mit dem Mittelwert , so dass und .G $g$$G$$0$$b = \frac{\Phi(t)\, –\, ½\, –\, t.\phi(t)}{G(t)\, –\, ½\, –\, t.g(t)}$$a = \phi(t)-b.g(t)$

Das heißt, und werden gewählt, um die Dichte kontinuierlich zu machen und zu integrieren .$a$$b$$1$

Beispiel 1 Betrachten Sieund,$g(x) = 3\, \phi(3x)$$t=1$

Das sieht ungefähr so ​​aus wie Ihre Zeichnung, die hier durch den folgenden R-Code generiert wird:

f <- function(x, t=1,
              dg=function(x) 2*dnorm(2*x),
              pg=function(x) pnorm(2*x),
              b=(pnorm(t) - 0.5 - t*dnorm(t))/ (pg(t) - 0.5 - t*dg(t)),
              a=dnorm(t)-b*dg(t) ) {
       ifelse(abs(x)>t,dnorm(x),a+b*dg(x))
     }

f1 <- function(x) f(x,t=1,dg=function(x) 3*dnorm(3*x),pg=function(x) pnorm(3*x))
curve(f1,-4,4,col=2)
lines(x,dnorm(x),col=3)

Nun die Berechnungen. Lassen Sie uns eine Funktion , um auszuwerten :$x^pf_1(x)$

fp <- function(x,p=2) x^p*f1(x)

so können wir die Momente bewerten. Zuerst die Varianz:

 integrate(fp,-Inf,Inf)  # should be just smaller than 1
0.9828341 with absolute error < 1.4e-07

Weiter der vierte zentrale Moment:

 integrate(fp,-Inf,Inf,p=4) # should be just smaller than 3
2.990153 with absolute error < 8.3e-06

Wir brauchen das Verhältnis dieser Zahlen, das eine Genauigkeit von etwa 5 Stellen haben sollte

 integrate(fp,-Inf,Inf,p=4)$value/(integrate(fp,-Inf,Inf)$value^2)
[1] 3.095515

Die Kurtosis ist also ungefähr 3.0955, etwas größer als im Normalfall.

Natürlich könnten wir es algebraisch berechnen und eine genaue Antwort erhalten, aber es besteht keine Notwendigkeit, dies sagt uns, was wir wissen wollen.

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Beispiel 2 Mit deroben definiertenFunktionkönnen wir es für alle Arten vonversuchen.$f$$g$

Hier ist der Laplace:

library(distr)
D <- DExp(rate = 1) 
f2 <- function(x) f(x,t=1,dg=d(D),pg=p(D))
curve(f2,-4,4,col=2)
lines(x,dnorm(x),col=3)

fp2 <- function(x,p=2) x^p*f2(x)


 integrate(fp2,-Inf,Inf)  # should be just smaller than 1
0.9911295 with absolute error < 1.1e-07
 integrate(fp2,-Inf,Inf,p=4) # should be just smaller than 3
2.995212 with absolute error < 5.9e-06
 integrate(fp2,-Inf,Inf,p=4)$value/(integrate(fp2,-Inf,Inf)$value^2)
[1] 3.049065

Es überrascht nicht, dass ein ähnliches Ergebnis erzielt wird.

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Beispiel 3 : Nehmen wirals Cauchy-Verteilung (eine Student-t-Verteilung mit 1 df), aber mit der Skala 2/3 (dh wennein Standard-Cauchy ist, istund setzen Sie den Schwellenwert t (geben Sie die Punkte, außerhalb derer wir zur Normalen 'wechseln') erneut auf 1.$g$$h(x)$$g(x) = 1.5 h(1.5 x)$$\pm t$

dg <- function(x) 1.5*dt(1.5*x,df=1)
pg <- function(x) pt(1.5*x,df=1)

f3 <- function(x) f(x,t=1,dg=dg,pg=pg)
curve(f3,-4,4,col=2)
lines(x,dnorm(x),col=3)

fp3 <- function(x,p=2) x^p*f3(x)

 integrate(fp3,-Inf,Inf)  # should be just smaller than 1
0.9915525 with absolute error < 1.1e-07

 integrate(fp3,-Inf,Inf,p=4) # should be just smaller than 3
2.995066 with absolute error < 6.2e-06

 integrate(fp3,-Inf,Inf,p=4)$value/(integrate(fp2,-Inf,Inf)$value^2)
[1] 3.048917

Und nur um zu zeigen, dass wir tatsächlich eine richtige Dichte haben:

 integrate(f3,-Inf,Inf)
1 with absolute error < 9.4e-05

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Beispiel 4 :Was passiert jedoch , wenn wir t ändern?

Nehmen Sie und als vorheriges Beispiel, aber ändern Sie den Schwellenwert auf :$g$$G$$t=2$

f4 <- function(x) f(x,t=2,dg=dg,pg=pg)
curve(f4,-4,4,col=2)
lines(x,dnorm(x),col=3)

fp4 <- function(x,p=2) x^p*f4(x)

 integrate(fp4,-Inf,Inf,p=4)$value/(integrate(fp2,-Inf,Inf)$value^2)
[1] 2.755231

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Wie kommt es dazu?

Nun, es ist wichtig zu wissen, dass Kurtosis (etwas locker gesprochen) 1+ die quadratische Varianz über :$\mu\pm\sigma$

Alle drei Verteilungen haben den gleichen Mittelwert und die gleiche Varianz.

Die schwarze Kurve ist die normale Standarddichte. Die grüne Kurve zeigt eine ziemlich konzentrierte Verteilung um ( die Varianz um ist gering, was zu einer Kurtosis führt, die sich 1 nähert, der kleinstmöglichen). Die rote Kurve zeigt einen Fall, in dem die Verteilung von "weggeschoben" wird . Das heißt, die Kurtosis ist groß.$\mu\pm\sigma$$\mu\pm\sigma$$\mu\pm\sigma$

In diesem Sinne können wir, wenn wir die Schwellenwerte weit genug außerhalb von einstellen , die Kurtosis unter 3 drücken und haben immer noch einen höheren Peak.$\mu\pm\sigma$

Kurtosis ist ein ziemlich missverstandenes Konzept (ich finde LT De Carlos Artikel "Über die Bedeutung und Verwendung von Kurtosis" (1997) eine vernünftige und wertvolle Diskussion und Darstellung der damit verbundenen Probleme).

Also werde ich die naive Sichtweise einnehmen und eine Dichte konstruieren , mit "dünnerem mittleren und höheren Wert im Modus" im Vergleich zur normalen Standarddichte, aber identischen "Schwänzen" mit letzterer. Ich behaupte nicht , dass diese Dichte "übermäßige Kurtosis" aufweist. $g_X(x)$

Diese Dichte wird notwendigerweise schrittweise sein. Um identische linke und rechte "Schwänze" zu haben, sollte ihre funktionale Form für die Intervalle und , wobei ist, mit der Standardnormalen identisch sein Dichte. Im mittleren Intervall sollte es eine andere funktionale Form haben, nenne es . Dieses sollte um Null symmetrisch sein und erfüllen $(-\infty, -a)$$(a,\infty)$$a>0$$\phi(x)$$(-a,a)$$h(x)$$h(x)$

1) so dass der Wert der Dichte im Modus höher ist als der Wert der Standardnormalen, und $h(0) > \phi(0) = 1/\sqrt{2\pi}$

2) so dass stetig ist. $\phi(-a) = h(-a) = h(a) = \phi(a)$$g_X(x)$

Mehr über, sollte der Einheit über die Domain integrieren, um eine geeignete Dichte zu sein. So wird diese Dichte sein$g_X(x)$

$$g_X(x) = \begin{matrix} \phi(x) &-\infty<x\le -a\\ h(x) &-a\le x \le a\\ \phi(x) & a\le x<\infty \end{matrix}$$

vorbehaltlich der zuvor genannten Beschränkungen für und auch vorbehaltlich $h(x)$

$$\int_{-\infty}^{-a}\phi(t)dt + \int_{-a}^ah(t)dt + \int_{a}^{\infty}\phi(t)dt =1$$

Dies entspricht der Anforderung, dass die Wahrscheinlichkeitsmasse unter im Intervall gleich der Wahrscheinlichkeitsmasse unter im gleichen Intervall sein muss:$h(x)$$(-a,a)$$\phi(x)$

$$\int_{-a}^{-a}\left(h(t)- \phi(t)\right)dt =0 \Rightarrow \int_{0}^{a}\left(h(t)- \phi(t)\right)dt=0$$ der letzte Teil aufgrund der Symmetrieeigenschaften.

Um etwas Bestimmtes zu erhalten, werden wir die Dichte der Laplace-Verteilung mit dem Mittelwert Null für "versuchen".$h(x)$

$$h(x)= \frac 1{2b} e^{-\frac {|x|}{b}},\; b>0$$

Um die verschiedenen zuvor gestellten Anforderungen zu erfüllen, müssen wir:

Für einen höheren Wert im Modus ist

$$h(0)= \frac 1{2b} > \phi(0) = \frac {1}{\sqrt{2\pi}} \Rightarrow 0<b < \sqrt{\pi/2} \qquad [1]$$

Für die Kontinuität gilt

$$h(a) = \phi(a) \Rightarrow \frac 1{2b} e^{-\frac {a}{b}} = \frac {1}{\sqrt {2\pi}}e^{-\frac 12a^2}$$ $$\Rightarrow -\ln(2b) - \frac {a}{b} = -\ln(\sqrt {2\pi}) -\frac 12a^2 \Rightarrow \frac 12a^2 - \frac {a}{b} +\ln\frac{\sqrt {\pi/2}}{b}$$

Dies ist ein Quadrat in . Seine Diskriminante ist $a$

$$\Delta_a = \frac 1{b^2} - 4\cdot \frac 12 \cdot\ln\frac{\sqrt {\pi/2}}{b} > 0$$

(Es kann leicht überprüft werden, dass es immer positiv ist). Mehr über, wir da nur die positive Wurzel halten so$a>0$

$$a^* = \frac 1b + \sqrt{\Delta_a}\qquad [2]$$

Schließlich übersetzt sich das Erfordernis, dass sich die Dichte in die Einheit integriert, in

$$\int_{0}^{a^*}\frac 1{2b} e^{-\frac {|x|}{b}} dt = \int_{0}^{a^*}\phi(t)dt$$

was durch unkomplizierte Integration zu führt

$$1-e^{-\frac {a^*}{b}} = 2\left(\Phi(a^*) - \frac 12\right) = \operatorname{erf}(a^*/\sqrt2)\qquad [3]$$

Dies kann numerisch für gelöst werden und so die Dichte, nach der wir , vollständig bestimmen. $b^*$

Natürlich könnten auch andere funktionale Formen ausprobiert werden, die um Null symmetrisch sind. Das Laplace-PDF diente nur Expositionszwecken.

Die Kurtosis dieser Verteilung wird wahrscheinlich höher sein als die einer Normalverteilung. Ich sage wahrscheinlich, weil ich dies auf eine grobe Zeichnung stütze, und obwohl es möglich sein könnte zu beweisen, dass eine sich bewegende Masse auf diese Weise immer die Kurtosis erhöht, bin ich mir darüber nicht sicher.

Obwohl es stimmt, dass es die gleichen Schwänze wie eine Normalverteilung hat, hat diese Verteilung eine geringere Varianz als die Normalverteilung, von der es abgeleitet ist. Dies bedeutet, dass seine Schwänze mit den Schwänzen einer Normalverteilung übereinstimmen, jedoch nicht mit einer Normalverteilung mit der gleichen Varianz wie sie. Die normalisierten Schwänze sind also tatsächlich dicker als die Schwänze einer Normalverteilung. Und obwohl dickere Schwänze nicht automatisch mehr Kurtosis bedeuten, wird in diesem Fall das normalisierte vierte Moment wahrscheinlich auch größer sein.

Es sieht so aus, als ob das OP versucht, eine Verbindung zwischen "Peakedness" und Kurtosis herzustellen, indem es die Schwänze festhält und die Verteilung "Peaked" macht. Es gibt hier eine Auswirkung auf die Kurtosis, aber sie ist so gering, dass es kaum eine Erwähnung wert ist. Hier ist ein Satz, der diese Behauptung stützt.

Satz 1: Betrachten Sie jede Wahrscheinlichkeitsverteilung mit endlichem vierten Moment. Konstruieren Sie eine neue Wahrscheinlichkeitsverteilung, indem Sie die Masse im Bereich ersetzen , die Masse außerhalb von festhalten und den Mittelwert beibehalten und Standardabweichung bei . Dann beträgt die Differenz zwischen den minimalen und maximalen Pearson-Moment-Kurtosis-Werten über alle derartigen Ersetzungen .$[\mu - \sigma, \mu + \sigma]$$[\mu - \sigma, \mu + \sigma]$$\mu, \sigma$$\le 0.25$

Kommentar: Der Beweis ist konstruktiv; In dieser Einstellung können Sie die minimalen und maximalen Kurtosis-Ersetzungen identifizieren. Ferner ist 0,25 eine Obergrenze des Kurtosisbereichs, abhängig von der Verteilung. Beispielsweise beträgt bei einer Normalverteilung der gebundene Bereich 0,141 anstelle von 0,25.

Auf der anderen Seite gibt es eine enorme Auswirkung von Schwänzen auf die Kurtosis, wie aus dem folgenden Satz hervorgeht:

Satz 2: Betrachten Sie jede Wahrscheinlichkeitsverteilung mit endlichem vierten Moment. Konstruieren Sie eine neue Wahrscheinlichkeitsverteilung, indem Sie die Masse außerhalb des Bereichs ersetzen , die Masse in festhalten und den Mittelwert und beibehalten Standardabweichung bei . Dann ist die Differenz zwischen den minimalen und maximalen Pearson-Moment-Kurtosis-Werten über alle derartigen Ersetzungen unbegrenzt; dh die neue Verteilung kann so gewählt werden, dass die Kurtosis aribiträr groß ist.$[\mu - \sigma, \mu + \sigma]$$[\mu - \sigma, \mu + \sigma]$$\mu, \sigma$

Kommentar: Diese beiden Sätze zeigen, dass die Wirkung von Schwänzen auf die Pearson-Moment-Kurtosis unendlich ist, während die Wirkung von "Peakedness" beträgt .$\le 0.25$