Wie werden gleichmäßig verteilte Punkte in der 3-D-Einheitskugel erzeugt?

Ich habe eine vorherige Frage gestellt , dies ist verwandt, aber ich denke, es ist besser, einen anderen Thread zu starten. Dieses Mal frage ich mich, wie man gleichmäßig verteilte Punkte innerhalb der 3D-Einheitskugel erzeugt und wie man die Verteilung auch visuell und statistisch überprüft. Ich sehe die dort veröffentlichten Strategien nicht direkt auf diese Situation übertragbar.

Am einfachsten ist es, Punkte im entsprechenden Hyperwürfel gleichmäßig abzutasten und diejenigen zu verwerfen, die nicht in der Kugel liegen. In 3D sollte dies in etwa 50% der Fälle nicht so häufig vorkommen. (Das Volumen des Hyperwürfels beträgt 1, das Volumen der Kugel beträgt )$\frac{4}{3}\pi r^3 = 0.523...$

Sie können dies auch in sphärischen Koordinaten tun. In diesem Fall erfolgt keine Zurückweisung. Zuerst erzeugen Sie den Radius und die beiden Winkel zufällig, dann verwenden Sie die Übergangsformel, um , y und z wiederherzustellen ( x = r sin θ cos ϕ , y = r sin θ sin ϕ , z = r cos θ ).$x$$y$$z$$x = r \sin \theta \cos \phi$$y = r \sin \theta \sin \phi$$z = r \cos \theta$

You generate $\phi$ unifomly between $0$ and $2\pi$. The radius $r$ and the inclination $\theta$ are not uniform though. The probability that a point is inside the ball of radius $r$ is $r^3$ so the probability density function of $r$ is $3 r^2$. You can easily check that the cubic root of a uniform variable has exactly the same distribution, so this is how you can generate $r$. The probability that a point lies within a spherical cone defined by inclination $\theta$ is $(1-\cos\theta)/2$ or $1 - (1-\cos (-\theta))/2$ if $\theta > \pi/2$. So the density $\theta$ is $sin(\theta)/2$. You can check that minus the arccosine of a uniform variable has the proper density.

Or more simply, we can simulate the cosine of $\theta$ uniformly beteen $-1$ and $1$.

In R this would look as shown below.

n <- 10000 # For example n = 10,000.
phi <- runif(n, max=2*pi)
r <- runif(n)^(1/3)
cos_theta <- runif(n, min=-1, max=1)
x <- r * sqrt(1-cos_theta^2) * cos(phi)
y <- r * sqrt(1-cos_theta^2) * sin(phi)
z <- r * cos_theta

In the course of writing and editing this answer, I realized that the solution is less trivial than I thought.

I think that the easiest and computationally most efficient method is to follow @whuber's method to generate $(x,y,z)$ on the unit sphere as shown on this post and scale them with $r$.

xyz <- matrix(rnorm(3*n), ncol=3)
lambda <- runif(n)^(1/3) / sqrt(rowSums(xyz^2))
xyz <- xyz*lambda

In my opinion, the easiest option which also generalizes to higher dimensional balls (which is not the case of spherical coordinates and even less the case of rejection sampling) is to generate random points $P$ that are products of two random variables $P = N/||N|| * U^{1/n}$ where $N$ is a Gaussian random variable (i.e. isotropic, i.e. pointing in any direction uniformly) normalized so that it lies on the sphere and $U$ which is a uniform random variable in $[0,1]$ to the power $1/n$, $n$ being the dimensionality of the data, taking care of the radius.

Et voilà!