Zwei negative Haupteffekte bei gleichzeitig positivem Interaktionseffekt?

Ich habe zwei Haupteffekte, V1 und V2. Die Auswirkungen von V1 und V2 auf die Antwortvariablen sind negativ. Aus irgendeinem Grund erhalte ich jedoch einen positiven Koeffizienten für den Interaktionsterm V1 * V2. Wie kann ich das interpretieren? Ist eine solche Situation möglich?

Bestimmt. Betrachten Sie als einfaches Beispiel ein Experiment, bei dem Sie einem Aquarium, das bei der richtigen Temperatur beginnt, bestimmte Mengen an heißem (V1) und kaltem (V2) Wasser hinzufügen. Die Antwortvariable (V3) ist die Anzahl der Fische, die nach einem Tag überleben. Wenn Sie nur heißes Wasser hinzufügen (V1 erhöht sich), sterben intuitiv viele Fische (V3 sinkt). Wenn Sie nur kaltes Wasser hinzufügen (V2 erhöht sich), sterben viele Fische (V3 sinkt). Wenn Sie jedoch heißes und kaltes Wasser hinzufügen (V1 und V2 erhöhen sich, also V1 * V2 erhöht sich), ist der Fisch in Ordnung (V3 bleibt hoch), sodass die Interaktion den beiden Haupteffekten entgegenwirken und positiv sein muss.

Unten habe ich 18 Datenpunkte erstellt, die die obige Situation imitieren, und mehrere lineare Regressionen in R eingepasst und die Ausgabe eingeschlossen. Sie können die zwei negativen Haupteffekte und die positive Interaktion in der letzten Zeile sehen. Sie können V1 = Liter heißes Wasser, V2 = Liter kaltes Wasser und V3 = Anzahl lebendiger Fische nach einem Tag lassen.

   V1 V2  V3
1   0  0 100
2   0  1  90
3   1  0  89
4   1  1  99
5   2  0  79
6   0  2  80
7   2  1  91
8   1  2  92
9   2  2  99
10  3  3 100
11  2  3  88
12  3  2  91
13  0  3  70
14  3  0  69
15  3  3 100
16  4  0  61
17  0  4  60
18  4  2  82

A = matrix(c(0,0,100, 0,1,90, 1,0,89, 1,1,99, 2,0,79, 0,2,80, 2,1,91, 1,2,92, 
2,2,99, 3,3,100, 2,3,88, 3,2,91, 0,3,70, 3,0,69, 3,3,100, 4,0,61, 0,4,60, 
4,2, 82), byrow=T, ncol=3)

A = as.data.frame(A)

summary(lm(V3~V1+V2+V1:V2, data=A))


Coefficients:
(Intercept)           V1           V2        V1:V2  
    103.568      -10.853      -10.214        6.563  

Eine alternative Sichtweise zum brillanten Beispiel von @ underminer ist die Feststellung, dass Ihre angepassten Werte unter Regression der kleinsten Quadrate "Korrelationsbeschränkungen" erfüllen.

Woher $x_{ik}$ist der Wert der k-ten Variablen (unabhängig / erklärend / Prädiktor / etc) bei der i-ten Beobachtung. Beachten Sie, dass die rechte Seite nicht von den anderen Variablen im Modell abhängt. Wenn also "y" im Allgemeinen mit der k-ten Variablen zunimmt / abnimmt, werden auch die angepassten Werte. Dies ist in den Betas leicht zu erkennen, wenn nur die Haupteffekte vorhanden sind, aber verwirrend, wenn Interaktionen vorhanden sind.

Beachten Sie, wie Wechselwirkungen im Allgemeinen die typische Interpretation von Betas als "Auswirkung auf die Reaktion durch Erhöhen dieser Variablen um eine Einheit bei konstant gehaltenen anderen Variablen " "ruinieren ". Dies ist eine nutzlose Interpretation, wenn Interaktionen vorhanden sind, da wir wissen, dass das Variieren einer einzelnen Variablen die Werte für die Interaktionsterme sowie die Haupteffekte verändert. Im einfachsten Fall Ihres Beispiels haben Sie diese Änderung$V1$ um eins ändert den angepassten Wert um

Klar, nur um zu sehen $\beta_1$ gibt Ihnen nicht die richtige "Wirkung" von $V1$ auf die Antwort.