Voreingenommener Schätzer für die kleinere von zwei Zufallsvariablen

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Angenommen, $X \sim \mathcal{N}(\mu_x, \sigma^2_x)$ und $Y \sim \mathcal{N}(\mu_y, \sigma^2_y)$

Ich interessiere mich für $z = \min(\mu_x, \mu_y)$ . Gibt es einen unvoreingenommene Schätzer für $z$ ?

Der einfache Schätzer von bei dem und beispielhafte Mittelwerte für und sind, ist voreingenommen (obwohl konsistent). Es neigt zum Unterschießen $\min(\bar{x}, \bar{y})$ $\bar{x}$ $\bar{y}$ $X$ $Y$ . $z$

Mir fällt kein unvoreingenommener Schätzer für $z$ . Existiert einer?

Danke für jede Hilfe.

random-variable unbiased-estimator minimum

— pazam
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Dies sind nur ein paar Kommentare, die keine Antwort sind (nicht genügend Wiederholungspunkte).

(1). Es gibt eine explizite Formel für die Vorspannung des einfachen Schätzers $min(\bar{x},\bar{y})$ :

Clark, CE 1961, März-Apr. Die größte einer endlichen Menge von Zufallsvariablen. Operations Research 9 (2): 145–162.

Ich bin mir nicht sicher, wie das hilft

(2). Dies ist nur eine Intuition, aber ich denke, dass es einen solchen Schätzer nicht gibt. Wenn es einen solchen Schätzer gibt, sollte er auch unverzerrt sein, wenn . Jede "Herabstufung", die den Schätzer kleiner macht als das gewichtete Mittel der beiden Stichprobenmittel, macht den Schätzer für diesen Fall voreingenommen. $\mu_x=\mu_y=\mu$

— Oder Zuk
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Es ist vorstellbar, dass jede Korrektur in diesem Fall einen Mittelwert von Null hat.

— Kardinal

Um dies zu verdeutlichen, behaupte ich nicht, dass es einen unvoreingenommenen Schätzer gibt. Tatsächlich stimme ich zu, dass dies wahrscheinlich nicht der Fall ist .

— Kardinal

1

Ja, stimme zu - das ist nur Intuition. Der folgende Artikel gibt Bedingungen für die Existenz eines unverzerrten Schätzers für eine Funktion eines univariaten Gauß-Mittels an - kann möglicherweise auf multivariate Werte

— oder Zuk

Wenn Sie wissen, dass die Verzerrung hilfreich ist, können Sie sie korrigieren, um einen unvoreingenommenen Schätzer zu erhalten. Eigentlich bin ich diesen Weg gegangen, aber für die Berechnung der genauen Verzerrung müssen Sie

und

- was wir nicht tun. Also habe ich natürlich versucht, den Mittelwert der Stichprobe zu verwenden, um zu sehen, was passiert. Es scheint nicht zu helfen. In Simulationen weist der korrigierte Schätzer auch eine Verzerrung auf. Ich neige zu einem unvoreingenommenen Schätzer, den es nicht gibt, aber ich habe keinen guten Beweis dafür gefunden.

u_{x}

$u_x$

u_{y}

$u_y$

— Pazam

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Sie haben Recht, dass es keinen unvoreingenommenen Schätzer gibt. Das Problem ist, dass der interessierende Parameter aufgrund der Nichtdifferenzierbarkeit bei keine glatte Funktion der zugrunde liegenden Datenverteilung ist $\mu_x=\mu_y$ .

Der Beweis ist wie folgt. Sei ein unvoreingenommener Schätzer. Dann ist . Die linke Seite ist in Bezug auf und überall differenzierbar (unter dem Integralzeichen differenzieren). Die rechte Seite ist jedoch bei nicht differenzierbar $T(X,Y)$ $E_{\mu_x,\mu_y}[T(X,Y)]=\min\{\mu_x,\mu_y\}$ $\mu_x$ $\mu_y$ $\mu_x=\mu_y$ , was zu einem Widerspruch führt.

Hirano und Porter haben einen allgemeinen Beweis in einer bevorstehenden Econometrica-Veröffentlichung (siehe ihre Proposition 1). Hier ist die Arbeitspapierversion:

http://www.u.arizona.edu/~hirano/papers/hp4_2011_11_03.pdf

— user8817
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Sehr schön! Vielen Dank, dass Sie diese Frage beantwortet haben.

— whuber

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Es gibt einen Schätzer für das Minimum (oder das Maximum) einer Menge von Zahlen, die einer Stichprobe unterzogen werden. Siehe Laurens de Haan, "Schätzung des Minimums einer Funktion unter Verwendung von Ordnungsstatistiken", JASM, 76 (374), Juni 1981, 467-469.

— Jan Galkowski
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Leider glaube ich nicht, dass das von Ihnen zitierte Papier dieses Problem behebt. Der Artikel befasst sich mit einer Menge von nicht stochastischen Variablen A und dem Finden des kleinsten Elements in A durch Stichproben. Im Zusammenhang mit diesem Problem wäre jedes Element in A eine Zufallsvariable, und darin liegt der Kicker. Sie müssen einen unvoreingenommenen Schätzer für den Mittelwert der kleinsten Zufallsvariablen in A.

— Pazam,

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Ich bin mir ziemlich sicher, dass es keinen unvoreingenommenen Schätzer gibt. Unparteiische Schätzer gibt es jedoch für die meisten Größen nicht, und Unparteilichkeit ist in erster Linie keine besonders wünschenswerte Eigenschaft. Warum willst du eins hier?

The samples are expensive to obtain so I can't just up the sample size until the bias goes away. Unbiasedness is desired because I'm using the result of the estimator as the

Y

$Y$ s in linear regression. Having bias means that

Y

$Y$ will contain non-normal disturbance which is equivalent to a specification error and that leads to a mess. I won't be able to accurately estimate the slope, the variance, construct confidence intervals, etc..

— pazam