Wie zeigt man, dass es für eine Poisson-Verteilung mit Mittelwert keinen unverzerrten Schätzer für

Angenommen, $X_{0},X_{1},\ldots,X_{n}$ sind Zufallsvariablen, die der Poisson-Verteilung mit dem Mittelwert folgen . Wie kann ich nachweisen, dass es keinen unvoreingenommenen Schätzer für die Menge ? $\lambda$ $\dfrac{1}{\lambda}$

— billlee1231
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Ich nehme an, Sie meinen "Lambda?" Auf jeden Fall ist dies nicht für MO geeignet.

Ist das für ein Thema? Es sieht aus wie eine ziemlich übliche Schulbuchübung. Bitte überprüfen Sie das self-studyTag und seine Wiki-Informationen und fügen Sie das Tag hinzu (oder geben Sie einen Hinweis darauf, wie sonst eine solche Frage entsteht). Beachten Sie, dass solche Fragen zwar willkommen sind, jedoch einige Anforderungen an Sie (und Einschränkungen an uns) stellen. Was hast du versucht?

— Glen_b

Sie sollten in der Lage sein, ein ähnliches Argument wie hier zu verwenden .

— Glen_b

Es sei angenommen, dass ein unverzerrter Schätzer von ist, is $g(X_0, \ldots, X_n)$ $1/\lambda$ Multiplizieren Danndurch und die MacLaurin Reihe von Aufrufen wir die Gleichheit schreiben kann

\sum_{(x_{0}, \dots, x_{n}) \in N_{0}^{n + 1}} g (x_{0}, \dots, x_{n}) \frac{λ^{\sum_{i = 0}^{n} x_{i}}}{\prod_{i = 0}^{n} x_{i}!} e^{- (n + 1) λ} = \frac{1}{λ}, \forall λ > 0.

$\sum_{(x_0, \ldots, x_n) \in \mathbb{N}_0^{n+1}} g(x_0, \ldots, x_n) \frac{\lambda^{\sum_{i=0}^n x_i}}{\prod_{i=0}^n x_i!} e^{-(n + 1) \lambda} = \frac{1}{\lambda}, \quad \forall \lambda > 0.$

λ e^{(n + 1) λ}

$\lambda e^{(n + 1) \lambda}$

e^{(n + 1) λ}

$e^{(n + 1) \lambda}$

wobei wir eine Gleichheit von zwei Potenzreihen haben, von denen eine einen konstanten Term hat (die rechte Seite) und die andere keinen: einen Widerspruch. Somit existiert kein unvoreingenommener Schätzer.

\sum_{(x_{0}, \dots, x_{n}) \in N_{0}^{n + 1}} \frac{g (x_{0}, \dots, x_{n})}{\prod_{i = 0}^{n} x_{i}!} λ^{1 + \sum_{i = 0}^{n} x_{i}} = 1 + (n + 1) λ + \frac{(n + 1)^{2} λ^{2}}{2} + \dots, \forall λ > 0,

$\sum_{(x_0, \ldots, x_n) \in \mathbb{N}_0^{n+1}} \frac{g(x_0, \ldots, x_n)}{\prod_{i=0}^n x_i!} \lambda^{1 + \sum_{i=0}^n x_i} = 1 + (n + 1)\lambda + \frac{(n + 1)^2 \lambda^2}{2} + \ldots , \quad \forall \lambda > 0,$

— J. Virta
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