Was ist der Median einer nicht zentralen t-Verteilung?

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Was ist der Median der nicht zentralen t-Verteilung mit dem Nicht-Zentralitätsparameter ? Dies kann eine hoffnungslose Frage sein, da die CDF als unendliche Summe ausgedrückt zu sein scheint und ich keine Informationen über die inverse CDF-Funktion finden kann. $\delta \ne 0$

— shabbychef
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Sie können es annähern.

Zum Beispiel habe ich die folgenden nichtlinearen Anpassungen für (Freiheitsgrade) von 1 bis 20 und (Nichtzentralitätsparameter) von 0 bis 5 (in Schritten von 1/2) vorgenommen. Lassen $\nu$ $\delta$

a (ν) = 0.963158 + \frac{0.051726}{ν - 0.705428} + 0.0112409 \log (ν),

$a(\nu) = 0.963158 + \frac{0.051726}{\nu-0.705428} + 0.0112409\log(\nu),$

b (ν) = - 0.0214885 + \frac{0.406419}{0.659586 + ν} + 0.00531844 \log (ν),

$b(\nu) = -0.0214885+\frac{0.406419}{0.659586 +\nu}+0.00531844 \log(\nu),$

und

g (ν, δ) = δ + a (ν) \exp (b (ν) δ) - 1.

$g(\nu, \delta) = \delta + a(\nu) \exp(b(\nu) \delta) - 1.$

$g$ $\nu=1$ $\nu=2$ $\nu=3$ $\nu = 4, 5, \ldots, 20$

$a$ $b$ $\nu$ $a$ $b$ $\nu$ $a$ $b$

$\nu$

$\delta$ $\nu=1$ $\delta$

Nicht zentraler t-Median, Delta von 0 bis 5, nu = 1

Nicht-zentrale t-Median-Residuen, Delta von 0 bis 5, nu = 1

Die Residuen sind im Vergleich zu den Medianen wirklich klein.

$\delta$ $\nu$

Nicht zentraler t-Median gegen Nu und Delta (in Pseudo-3D)

$\delta$ $\delta$ $\delta$ $\nu$

(Median - Delta) / Delta versus Delta und nu

— whuber
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g

$g$

1

ν

$\nu$

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Wenn Sie an (Freiheitsgraden) ν> 2 interessiert sind, wird der folgende asymptotische Ausdruck [abgeleitet aus einer interpolativen Annäherung an das nichtzentrale Student-t-Quantil, DL Bartley, Ann. Besetzen. Hyg. 52, 2008] ist für viele Zwecke ausreichend genau:

 Median[ t[δ,ν] ] ~ δ(1 + 1/(3ν)).

Mit ν> 2 beträgt die maximale Größe der Verzerrung des obigen Ausdrucks relativ zum nichtzentralen Student-t-Median etwa 2% und fällt mit zunehmendem ν schnell ab. Das Konturdiagramm zeigt die Verzerrung der asymptotischen Näherung relativ zum nichtzentralen Student-t-Median:

— David Bartley
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