Invarianzeigenschaft von MLE: Was ist die MLE von

Invarianzeigenschaft von MLE: if die MLE ist von , dann für eine beliebige Funktion , die MLE von ist . θf(θ)f(θ)f( θ$\hat{\theta}$$\theta$$f(\theta)$$f(\theta)$$f(\hat{\theta})$

Außerdem muss eine Eins-zu-Eins-Funktion sein.$f$

Das Buch sagt: "Um beispielsweise , das Quadrat eines normalen Mittelwerts , zu schätzen , ist die Zuordnung nicht eins zu eins." Wir können also keine Invarianzeigenschaft verwenden.${\theta}^2$

Aber dann beweist es die Eigenschaft und sagt: "Wir sehen jetzt, dass MLE von , das Quadrat eines normalen Mittelwerts, ".ˉ x$\theta^2$$\bar{x}^2$

Dies scheint sich selbst zu widersprechen, wir quadrieren , aber das Quadrat von irgendetwas ist nicht eins zu eins. Was lese ich hier falsch? Vielen Dank!$\bar{x}$

Quelle: Casella & Berger "Statistical Inference"

Genau das sagen Casella und Berger nicht. Sie erkennen (Seite 319), dass der Beweis der Invarianzeigenschaft sehr einfach ist , wenn die Transformation eins zu eins ist. Dann erweitern sie die Invarianzeigenschaft auf willkürliche Transformationen der Parameter, die eine induzierte Wahrscheinlichkeitsfunktion auf Seite 320 einführen. Satz 7.2.10 auf derselben Seite liefert den Beweis für die erweiterte Eigenschaft. Daher hier kein Widerspruch.

Ab Seite 350 von "Wahrscheinlichkeit und statistische Inferenz" :