Ich möchte

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Sei eine Zufallsvariable im Wahrscheinlichkeitsraum Zeige, dass $X:\Omega \to \mathbb N$ $(\Omega,\mathcal B,P)$

E (X) = \sum_{n = 1}^{\infty} P (X \geq n) .

$E(X)=\sum_{n=1}^\infty P(X\ge n).$

Meine Definition von ist gleich $E(X)$

E (X) = \int_{Ω} X d P .

$E(X)=\int_\Omega X \, dP.$

Vielen Dank.

probability self-study expected-value

— pual ambagher
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Hmmm, vielleicht möchten Sie das hinzufügen ... nein?

X \geq 0

$X\geq 0$

— Stat

@Stat: nein, . ist natürlich. Betrachten Sie immer gleich 2. .

P (X \geq 0) = 1

$P(X \ge 0) = 1$

X

$X$

X

$X$

E (X) = 2 = P (X \geq 1) + P (X \geq 2)

$E(X) = 2 = P(X\ge 1) + P(X\ge 2)$

— Januar

oops, habe nicht gesehen !

N

$N$

— Stat

1

Die Aussage ist (etwas) falsch: weil enthält , muss die Summierung an beginnen anstelle von .

N

$\mathbb{N}$

0

$0$

0

$0$

1

$1$

— whuber

4

@whuber Nein, die Summe muss bei (versuchen Sie den Fall, wenn ).

n = 1

$n=1$

P [X = 42] = 1

$P[X=42]=1$

— Hat den

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Die Definition von für diskretes ist . $E(X)$ $X$ $E(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i)$

P (X \geq i) = P (X = i) + P (X = i + 1) + \dots

$P( X \ge i ) = P( X = i ) + P( X = i + 1 ) + \cdots$

Damit

\begin{aligned} \sum_{i} P (X \geq i) = P (X \geq 1) + P (X \geq 2) + \dots \\ = & P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + \dots + P (X = 2) + P (X = 3) + \dots \end{aligned}

$\begin{align} & \sum_i P( X \ge i ) = P( X \ge 1 ) + P( X \ge 2 ) + \cdots \\[8pt] = {} & P( X = 1 ) + P( X = 2 ) + P( X = 3 ) + \cdots + P(X = 2 ) + P( X = 3 ) + \cdots \end{align}$

(Wir ordnen die Begriffe im letzten Ausdruck neu)

\begin{aligned} = 1 \cdot P (X = 1) + 2 \cdot P (X = 2) + 3 \cdot P (X = 3) + \dots \\ = \sum_{i} i \cdot P (X = i) \end{aligned}

$\begin{align} & = 1 \cdot P( X = 1 ) + 2 \cdot P( X = 2 ) + 3 \cdot P( X = 3 ) + \cdots \\[8pt] & = \sum_i i \cdot P( X = i ) \end{align}$

qed

— Januar
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4

Sie sollten hilfreiche Hinweise für die Selbststudien-Tags geben, nicht die vollständige Antwort. Es ist besser, ihre Aufgaben nicht zu lösen :)

— Stat

1

Müssen Sie nicht erklären, warum Sie die Summe nachbestellen können? Das wäre wichtig, wenn Sie nach einer rigorosen Demonstration suchen.

— Manuel

@ Januar.in der Frage ist eine Zufallsvariable. Erwähne nicht, dass diskret oder kontinuierlich ist.

X

$X$

X

$X$

— Pual Ambagher

1

Ja, Sie haben angegeben, dass in der ersten Zeile diskret ist: "diskret" (im weitesten Sinne) bedeutet, dass es eine zählbare Teilmenge des Bereichs der Variablen gibt, für die es die Wahrscheinlichkeit ; und weil zählbar ist, muss Ihr diskret sein.

X

$X$

1

$1$

N

$\mathbb{N}$

X

$X$

— whuber

@ whuber.Ich stimme zu und habe es bekommen .und danke von allen.

— Pual Ambagher

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Ich mag die Antwort von Januar. Darf ich einen Weg vorschlagen, die Serie aufzuschreiben, damit das Auge die Neuanordnung leichter erkennt (so schreibe ich sie gerne an die Tafel)? (Die Neuanordnung ist mathematisch fundiert, da dies eine Reihe positiver Begriffe ist .)

\begin{array}{rcl} \sum_{k = 1}^{\infty} P (X \geq k) & = & P (X \geq 1) = P (X = 1) & + & P (X = 2) & + & P (X = 3) & + & \dots \\ + & P (X \geq 2) & + & P (X = 2) & + & P (X = 3) & + & \dots \\ + & P (X \geq 3) & + & P (X = 3) & + & \dots \\ + & \dots & + & \dots \end{array}

$\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty P(X\geq k) &=& \quad P(X\geq 1) \quad=\quad P(X=1)&+&P(X=2)&+&P(X=3) &+& \;\dots\\ &+& \quad P(X\geq 2) &+& P(X=2) &+&P(X=3)&+& \;\dots \\ \\ &+& \quad P(X\geq 3) && &+& P(X=3)&+& \;\dots \\ \\ &+& \quad\quad\;\; \dots && &&&+& \;\dots\\ \end{eqnarray}$

— Zen
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Nehmen Sie an, dass X diskret ist?

— BCLC

@BCLC, die Formel funktioniert nur, wenn X positive ganze Zahlen annehmen kann. In der Tat ergibt sich beispielsweise für die Standardgleichverteilung 1, während die Antwort 1/2 ist. Oder betrachten wir auch im diskreten Fall die Zweipunktverteilung : Die Formel ergibt 0, während der Mittelwert 3/8 ist.

P (X = 1 / 4) = P (X = 1 / 2) = 1 / 2

$P(X = 1/4) = P(X = 1/2) = 1/2$

— Artem Sobolev

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Ich denke, die Standardmethode hierfür ist das Schreiben

X = \sum_{n = 1}^{\infty} 1 (X \geq n)

$X =\sum_{n=1}^\infty \mathbf{1}(X\ge n)$

E (X) = E (\sum_{n = 1}^{\infty} 1 (X \geq n))

$E(X) =E\left(\sum_{n=1}^\infty \mathbf{1}(X\ge n)\right)$

und dann umgekehrte Reihenfolge von Erwartung und Summe (nach Tonellis Theorem)

— seanv507
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Interessant. Ist es richtig zu sagen, dass dies NICHT voraussetzt, dass diskret ist? : O

X

$X$

— BCLC

1

@BCLC Die erste Zeile ist nur wahr, wenn X eine natürliche Zahl ist, daher ist es nicht korrekt ....

— Seanv507

1

Eine der anderen hervorragenden Antworten hier (von seanv507 ) hat festgestellt, dass diese Erwartungsregel tatsächlich aus einem stärkeren Ergebnis folgt, das die zugrunde liegende Zufallsvariable als unendliche Summe von Indikatorvariablen ausdrückt. Es ist möglich, ein allgemeineres Ergebnis zu beweisen, und dies kann verwendet werden, um die Erwartungsregel in der Frage zu erhalten. Wenn (seine Unterstützung ist also nicht breiter als die natürlichen Zahlen), kann gezeigt werden (Beweis unten), dass: $X: \Omega \rightarrow \mathbb{N}$

X = \sum_{n = 1}^{max (X, m)} I (X ⩾ n) for all m \in N .

$X = \sum_{n=1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) \quad \quad \quad \text{for all } m \in \mathbb{N}.$

Wenn Sie das nützliche Ergebnis: $m \rightarrow \infty$

X = \sum_{n = 1}^{\infty} I (X ⩾ n) .

$X = \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{I}(X \geqslant n).$

Es ist erwähnenswert, dass dieses Ergebnis stärker ist als die Erwartungsregel in der Frage, da es eine Zerlegung für die zugrunde liegende Zufallsvariable und nicht nur für ihren Moment ergibt. Wie in der anderen Antwort erwähnt, ergibt sich aus der Erwartung beider Seiten dieser Gleichung und der Anwendung des Tonelli-Theorems (um die Reihenfolge der Summen- und Erwartungsoperatoren zu vertauschen) die Erwartungsregel in der Frage. Dies ist eine Standarderwartungsregel, die beim Umgang mit nicht negativen Zufallsvariablen verwendet wird.

Das obige Ergebnis kann ziemlich einfach bewiesen werden. Beachten Sie zunächst Folgendes:

X = \underset{X times}{\underset{⏟}{1 + 1 + \dots + 1}} + \underset{countable times}{\underset{⏟}{0 + 0 + \dots + 0}} .

$X = \underbrace{1+1+ \cdots +1}_{ X \text{ times}} + \underbrace{0+0+ \cdots +0}_{ \text{countable times}}.$

Für jedes wir daher: $m \in \mathbb{N}$

\begin{aligned} X & = \underset{X times}{\underset{⏟}{1 + 1 + \dots + 1}} + \underset{max (0, m - X) times}{\underset{⏟}{0 + 0 + \dots + 0}} \\ = \sum_{n = 1}^{X} I (X ⩾ n) + \sum_{n = 1}^{max (0, m - X)} I (X ⩾ X + n) \\ = \sum_{n = 1}^{X} I (X ⩾ n) + \sum_{n = X + 1}^{max (X, m)} I (X ⩾ n) \\ = \sum_{n = 1}^{max (X, m)} I (X ⩾ n) . \end{aligned} .

$\begin{equation} \begin{aligned} X &= \underbrace{1+1+ \cdots +1}_{ X \text{ times}} + \underbrace{0+0+ \cdots +0}_{ \max(0,m-X) \text{ times}} \\[6pt] &= \sum_{n=1}^X \mathbb{I}(X \geqslant n) + \sum_{n=1}^{\max(0,m-X)} \mathbb{I}(X \geqslant X+ n) \\[6pt] &= \sum_{n=1}^X \mathbb{I}(X \geqslant n) + \sum_{n=X+1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) \\[6pt] &= \sum_{n=1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) . \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}.$

— Ben - Monica wieder einsetzen
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