Problem bei der Berechnung der Gelenk- und Randverteilung zweier gleichmäßiger Verteilungen

Angenommen, wir haben die Zufallsvariable als und als , wobei eine gleichmäßige Verteilung im Intervall . $X_1$ $U[0,1]$ $X_2$ $U[0,X_1]$ $U[a,b]$ $[a,b]$

Ich konnte das gemeinsame PDF von und das marginale PDF von berechnen . $(X_1,X_2)$ $X_1$

p (x_{1}, x_{2}) = \frac{1}{x_{1}}, for 0 \leq x_{1} \leq 1, 0 \leq x_{2} \leq x_{1},

$p(x_1,x_2) = \frac{1}{x_1}, \text{ for }\quad 0\le x_1\le 1, \quad 0\le x_2 \le x_1,$

p (x_{1}) = 1, for 0 \leq x_{1} \leq 1.

$p(x_1)= 1, \text{ for } \quad 0\le x_1\le 1.$

Beim Berechnen des Rand-PDF von ich jedoch auf ein Grenzwertproblem. Das Ergebnis des Integrals bis zum Rand von ist und die Grenzen liegen zwischen 0 und 1. Da für nicht definiert ist , stehe ich vor einer Schwierigkeit. $X_2$ $X_2$ $\log(X_1)$ $\log(X_1)$ $X_1=0$

Liege ich irgendwo falsch? Vielen Dank.

pdf marginal joint-distribution

— Andre Silva
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Meinen Sie zufällig, dass X2 als U [0, X1] verteilt ist?

— SheldonCooper

SheldonCopper: Das stimmt. Ich werde es ändern.

Die Grenzen für den Rand von liegen nicht zwischen 0 und 1, außer wenn .

X_{2}

$X_2$

X_{2} = 0

$X_2 = 0$

— whuber

Danke whuber. Du hast Recht. Wir müssen also die Grenzwerte für die Grenzdichte von X2 durch X1 = X2 bis X1 = 1 ersetzen.

Antworten:

Im Integral "Marginalisierung" ist die Untergrenze für nicht sondern (aufgrund der Bedingung ). $x_1$ $0$ $x_2$ $0<x_2<x_1$

Das Integral sollte also sein:

p (x_{2}) = \int p (x_{1}, x_{2}) d x_{1} = \int \frac{I (0 \leq x_{2} \leq x_{1} \leq 1)}{x_{1}} d x_{1} = \int_{x_{2}}^{1} \frac{d x_{1}}{x_{1}} = l o g (\frac{1}{x_{2}})

$p(x_2)=\int p(x_1,x_2) dx_1=\int \frac{I(0\leq x_2\leq x_1\leq 1)}{x_1} dx_1=\int_{x_2}^{1} \frac{dx_1}{x_1}=log\big(\frac{1}{x_2}\big)$

Sie sind darauf gestoßen, was meiner Meinung nach einer der schwierigsten Teile statistischer Integrale ist - die Bestimmung der Integrationsgrenzen.

HINWEIS: Dies stimmt mit Henrys Antwort überein, meine ist die PDF und seine ist die CDF. Wenn Sie seine Antwort differenzieren, erhalten Sie meine, was zeigt, dass wir beide Recht haben.

— Wahrscheinlichkeitslogik
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Ja, ich habe es herausgefunden, bevor du die Antwort gegeben hast :) ... Danke.

\log (1 / x_{2}) = - \log (x_{2})

$\log (1/x_2) = - \log (x_2)$ , was ich gefunden habe

— Henry

Sie sollten in der Randverteilung für $X_1$ $X_2$

Ich würde erwarten, dass Sie und daher ergibt die Ableitung eine Grenzdichte von . $P(X_2 \le x_2) = x_2 (1-\log(x_2))$ $-\log(x_2)$

Dies kommt von wenn , und wenn also die Integral ist $P(X_2 \le x_2 |X_1=x_1) = 1$ $x_1 \le x_2$ $P(X_2 \le x_2 |X_1=x_1) = \frac{x_2}{x_1}$ $x_2 \le x_1$

P (X_{2} \leq x_{2}) = \int_{x_{1} = 0}^{x_{2}} d x_{1} + \int_{x_{1} = x_{2}}^{1} \frac{x_{2}}{x_{1}} d x_{1}

$P(X_2 \le x_2) = \int_{x_1=0}^{x_2} dx_1 + \int_{x_1=x_2}^{1} \frac{x_2}{x_1} dx_1$

= {[x_{1}]}_{x_{1} = 0}^{x_{1} = x_{2}} + {[x_{2} \log (x_{1})]}_{x_{1} = x_{2}}^{x_{1} = 1}

$= \left[ x_1 \right]_{x_1=0}^{x_1=x_2} + \left[x_2 \log(x_1)\right]_{x_1=x_2}^{x_1=1}$

= x_{2} - 0 + x_{2} \log (1) - x_{2} \log (x_{2})

$= x_2 - 0 +x_2 \log(1) - x_2 \log(x_2)$

= x_{2} (1 - \log (x_{2}))

$= x_2 (1-\log(x_2))$

— Henry
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Henry: log (X1) ist nach der Integration (aber vor dem Ersetzen von Grenzwerten) für den Rand von X2. Dein P (X2) ist falsch. Ich glaube, Sie integrieren das Protokoll (X1), das ich nach der Integration selbst erhalten habe.

@Harpreet: Beim Testen mit R ist mir klar, dass für korrekt ist . Ich habe auch die Integrale erweitert, um zu zeigen, wie dies erreicht wird. Welches Ihrer Meinung nach falsch?

P (X_{2} \leq x_{2}) = x_{2} (1 - \log (x_{2}))

$P(X_2 \le x_2) = x_2 (1-\log(x_2))$

0 < x_{2} < 1

$0 < x_2 < 1$

P (X_{2})

$P(X_2)$

— Henry

P (X2) = int (1 / X1).

Danke Henry. Aber ich denke, was Sie tun, ist richtig, jedoch wird der Rand von X2 in ohne Grenzen sein.

l n (X_{1})

$ln(X_1)$

X_{1} \leq 1

$X_1 \le 1$ also , was bedeutet, dass es keine Dichte- oder Verteilungsfunktion sein kann. Und ich denke immer noch, dass nicht in der Randverteilung von . en.wikipedia.org/wiki/Marginal_distribution sagt dasselbe in "Die Verteilung der Randvariablen (die Randverteilung) wird durch Marginalisierung über die Verteilung der verworfenen Variablen erhalten, und die verworfenen Variablen sollen ausgegrenzt worden sein." . "

\ln (x_{1}) \leq 0

$\ln(x_1) \le 0$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— Henry