Notwendige und ausreichende Voraussetzung für die Unabhängigkeit der gemeinsamen MGF

Angenommen, ich habe eine gemeinsame Momenterzeugungsfunktion für eine gemeinsame Verteilung mit CDF . Ist eine notwendige und ausreichende Bedingung für die Unabhängigkeit von und ? Ich habe ein paar Lehrbücher durchgesehen, in denen nur die Notwendigkeit erwähnt wurde: $M_{X,Y}(s,t)$ $F_{X,Y}(x,y)$ $M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$ $X$ $Y$

F_{X, Y} (x, y) = F_{X} (x) \cdot F_{Y} (y) ⟹ M_{X, Y} (s, t) = M_{X} (s) \cdot M_{Y} (t)

$F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y) \implies M_{X,Y}(s,t)=M_X(s) \cdot M_Y(t)$

Dieses Ergebnis ist klar, da die Unabhängigkeit $M_{X,Y}(s,t)=\mathbb{E}(e^{sX+tY})=\mathbb{E}(e^{sX}) \mathbb{E}(e^{tY})$ . Da die MGFs der Marginals durch die gemeinsame MGF bestimmt werden, haben wir:

X, Y independent ⟹ M_{X, Y} (s, t) = M_{X, Y} (s, 0) \cdot M_{X, Y} (0, t)

$X,Y\text{ independent} \implies M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$

Aber nachdem ich online gesucht hatte, fand ich nur einen flüchtigen Hinweis ohne Beweis auf das Gegenteil . Ist der folgende Skizzenbeweis praktikabel?

Bei einem gemeinsamen MGF $M_{X,Y}(s,t)$ dies eindeutig die Randverteilungen von $X$ und $Y$ und ihren MGFs, $M_X(s)=M_{X,Y}(s,0)$ und $M_Y(t)=M_{X,Y}(0,t)$ . Die Ränder allein sind mit vielen anderen möglichen gemeinsamen Verteilungen kompatibel und bestimmen eindeutig eine gemeinsame Verteilung, in der $X$ und $Y$ unabhängig sind, mit CDF $F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y)=F_X(x) \cdot F_Y(y)$ und MGF:

M_{X, Y}^{ind} (s, t) = M_{X} (s) \cdot M_{Y} (t) = M_{X, Y} (s, 0) \cdot M_{X, Y} (0, t)

$M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t) = M_X(s) \cdot M_Y(t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$

Wenn wir also für unseren ursprünglichen MGF erhalten, dass , ist dies ausreichend, um . Durch die Einheitlichkeit der MGFs hat unsere ursprüngliche gemeinsame Verteilung dann und und sind unabhängig. $M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$ $M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t)$ $F_{X,Y}(x,y) = F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y) = F_X(x) \cdot F_Y(y)$ $X$ $Y$

— Silberfisch
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Ja, das ist die notwendige und ausreichende Voraussetzung für die Unabhängigkeit nicht nur für zwei Zufallsvariablen, sondern auch für eine (endliche) Folge von Zufallsvariablen. Schauen Sie sich zum Beispiel P.2 auf Seite 242 von Wahrscheinlichkeit mit statistischen Anwendungen von Rinaldo B. Schinazi an. Oder Seite 259 der ökonometrischen Analyse von Zähldaten, die auf der Wahrscheinlichkeitsfunktion basiert. Beachten Sie nur, dass "die momentgenerierende Funktion nicht immer existiert".

— Stat
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Vielen Dank für solide Refs. Ja, ich habe sorgfältig darauf geachtet, dass der ursprüngliche MGF zu Beginn gegeben wurde, und versucht, mich daran zu erinnern, dass jeder andere MGF, auf den ich mich bezog, als Konsequenz existiert, bevor ich etwas damit gemacht habe! Welche Beweisstrategien wurden in Ihren Schiedsrichtern angewendet?

— Silverfish

Haben Sie den Absatz direkt nach P2 in meiner ersten Referenz gelesen?

— Stat

Ah ja - es ist die Erweiterung meines vorgeschlagenen Beweises auf Vektoren. Vergleichen Sie den MGF der gegebenen Verteilung mit dem MGF, wenn die Komponenten unabhängig waren; da sie die gleichen sind und MGFS eindeutig bestimmen gemeinsame Verteilung sind, die gemeinsame Verteilung ist die unabhängige ein.

— Silverfish