Können wir die Irwin-Hall-Verteilung allgemeiner gestalten?

Ich muss eine symmetrische Verteilungsklasse mit niedriger Kurtosis finden, die die einheitliche, die dreieckige und die normale Gaußsche Verteilung umfasst. Die Irwin-Hall - Verteilung (Summe der Standard - Uniform) bietet diese Eigenschaft, werden aber nicht ganzzahligen Aufträge nicht die Behandlung . Wenn Sie jedoch zB einfach unabhängig voneinander z. B. 2 Standarduniformen und ein mit einem kleineren Bereich wie Sie in der Tat eine allgemeinere und reibungsloser erweiterte Version von Irwin-Hall für jede beliebige Reihenfolge (wie in diesem Fall). Ich frage mich jedoch, ob es möglich ist, eine praktische geschlossene Formel für die CDF zu finden. $N$ $[0,1]$ $[0,0.25]$ $N=2.25$

— user32038
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"Reibungslos verlängert" wirft einige heikle Fragen auf. Im Thread unter stats.stackexchange.com/questions/41467 stellt das Poster fest, dass sich die Glätte der Irwin-Hall-Verteilung abrupt von einem (ganzzahligen) Wert von zum nächsten ändert . Dies legt bereits nahe, dass wir nicht erwarten sollten, dass es eine mathematisch "schöne" geschlossene Form gibt, die durch reelle Werte von parametrisiert wird . Darüber hinaus gibt es selbst für die Irwin-Hall-Verteilung selbst keine solche geschlossene Formel.

n

$n$

n

$n$

— whuber

Hallo, ich habe detaillierte Stichprobenversuche durchgeführt und mir Histogramme einer solchen verallgemeinerten Irwin-Hall-Verteilung angesehen. In der Tat hilft die Einführung eines nicht ganzzahligen N dabei, Sprünge im Verhalten zu vermeiden! Auch zB steigt die Kurtosis mit realwertigem N reibungslos an. Wenn dies nicht der Fall wäre, wäre es in der Tat nicht schön. Ich denke, es sollte möglich sein, die Irwin-Hall-Summierungsformel für CDF in irgendeiner Weise zu erweitern.

— user32038

Die Summation ist keine "geschlossene Formel" im üblichen Sinne des Wortes, da die Anzahl der Terme ungebunden zunimmt, wenn variiert. Dies ist eine wichtige Unterscheidung, da echte geschlossene Formeln existieren: Die charakteristische Funktion der Irwin-Hall-Verteilung existiert für Nicht-Integral und so beantwortet seine inverse Fourier-Transformation Ihre Frage - wenn Sie das für eine geschlossene praktische Formel halten!

n

$n$

{((\exp (i t) - 1) / (i t))}^{n},

$\left((\exp(it) - 1)/(it)\right)^n,$

n

$n$

— whuber

Hallo whuber! Ich brauche eine passende Implementierung zB in Pascal. Für moderates N (wie 20) ist die bekannte Irwin-Hall-CDF-Formel überhaupt kein Problem, aber ich möchte nicht zu viel Rechenzeit aufwenden, z. B. für eine Integration, (inverse) Fourier-Transformation oder was auch immer. Natürlich ist der Fourier-Transformations-Ansatz elegant, aber nicht so genau, da ich sehr an CDF (x) für "großes" x interessiert bin, daher ist der Schwanzbereich für mich wichtig!

— user32038

Hallo, könnten Sie uns genauer skizzieren, wie Sie von der Fourier-Transformation von PDF zur einfachen CDF übergehen würden? (obwohl ich allgemein glaube, dass diese Methode Oszillationsprobleme in den Schwänzen hat, z. B. negative PDF-Dateien, wenn wir versuchen, das Integral zu bewerten ...).

— user32038

Nun, dies ist keine vollständige Antwort, wir werden später darauf zurückkommen, um sie zu vervollständigen ...

Brian Ripleys Buch Stochastic Simulation hat die geschlossene PDF-Formel als Übung 3.1 Seite 92 und ist unten angegeben: Eine R-Implementierung davon ist unten:

f (x) = \sum_{r = 0}^{⌊ x ⌋} (- 1)^{r} (\binom{n}{r}) (x - r)^{(n - 1)} / (n - 1)!

$f(x) = \sum_{r=0}^{\lfloor x \rfloor} (-1)^r \binom{n}{r} (x-r)^{(n-1)}/ (n-1)!$

makeIH  <-  function(n) Vectorize( function(x) {
                            if (x < 0) return(0.0)
                            if (x > n) return(0.0)
                            X  <-  floor(x)
                            r <- seq(from=0,  to=X)
                            s <-  (-1)^r * choose(n, r)*(x-r)^(n-1)/factorial(n-1)
                            sum(s)
                            } )

welches so verwendet wird:

fun3  <-  makeIH(3)
 plot(fun3,from=0,to=3,n=1001)
 abline(v=1, col="red")
 abline(v=2, col="red")

und gibt diese Handlung:

Die Unruhe bei den ganzzahligen Werten ist zumindest bei gutem Sehvermögen erkennbar .... $x=1, x=2$

(Ich werde später darauf zurückkommen)

— kjetil b halvorsen
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+1 Wenn Sie Zeit haben, würde mich interessieren, wie das abgeschlossen ist. ... Nebenbei bemerkt, obwohl ich weiß, dass es hier an Glätte mangelt (im Sinne von Diskontinuitäten in der zweiten Ableitung), kann ich nicht sagen, dass ich es wirklich als nicht glatt wahrnehme (mein Auge neigt dazu zu sagen "keine Knicke, es sieht glatt aus"). Ich gehe davon aus, dass ich die Veränderung spüren würde, wenn ich eine Achterbahn entlang dieser Kurve fahren würde .

— Glen_b -Rate State Monica

Für den Moment außerhalb der Zeit ... später

— kjetil b halvorsen

Um den Mangel an Glätte zu sehen, müssen wir wahrscheinlich die

— Plotpunkte