in Bezug auf die bedingte Unabhängigkeit und ihre grafische Darstellung

Beim Studium der Kovarianzauswahl habe ich einmal das folgende Beispiel gelesen. In Bezug auf das folgende Modell:

Seine Kovarianzmatrix und inverse Kovarianzmatrix sind wie folgt angegeben:

Ich verstehe nicht, warum die Unabhängigkeit von und y hier durch die inverse Kovarianz bestimmt wird?$x$$y$

Welche mathematische Logik liegt dieser Beziehung zugrunde?

Außerdem wird behauptet, dass der linke Graph in der folgenden Figur die Unabhängigkeitsbeziehung zwischen und y erfasst ; Warum?$x$$y$

Die inverse Kovarianzmatrix kann verwendet werden, um bedingte Varianzen und Kovarianzen für multivariate Gaußsche Verteilungen zu berechnen. Eine frühere Frage enthält einige Hinweise

$Y$$Z$$X=x$

$$\left( \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{array} \right) \text{ and re-invert it to }\left( \begin{array}{rr} \tfrac32 & \tfrac12 \\ \tfrac12 & \tfrac12 \end{array} \right)$$

$Y$$Z$$X=x$

$X$$Y$$Z=z$

$$\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \text{ and re-invert it to }\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$$

$X$$Y$$Z=z$$0$$1$

Um zu dem Schluss zu kommen, dass diese bedingte Nullkovarianz eine bedingte Unabhängigkeit impliziert, müssen Sie auch die Tatsache verwenden, dass dies ein multivariater Gaußscher Wert ist (da im Allgemeinen eine Nullkovarianz nicht unbedingt Unabhängigkeit impliziert). Das wissen Sie aus der Konstruktion.

$\epsilon_1$$\epsilon_2$$Z=z$$X=z+\epsilon_1$$Y=z+\epsilon_2$$Z=z$$X$$Y$

Dies ist eine Ergänzung zur richtigen und akzeptierten Antwort. Insbesondere enthält die ursprüngliche Frage eine Folgefrage zu der Aussage, die das Buch macht.

$X$$Y$

Dies wird in dieser Antwort angesprochen und ist das einzige, was in dieser Antwort angesprochen wird.

Um sicherzustellen, dass wir uns auf derselben Seite befinden, verwende ich im Folgenden diese Definition des (ungerichteten) Diagramms der bedingten Unabhängigkeit, das (zumindest grob) Markov-Zufallsfeldern entspricht:

$X$$G=(K,E)$$K=\{ 1, 2, \dots, k \}$$(i,j)$$X_i \perp \! \! \! \perp X_j | X_{K \setminus \{i,j\}}$$X_{K \setminus \{i,j\}}$$X_i$$X_j$

Ab p. 60 von Whittaker, Grafische Modelle in der angewandten mathematischen multivariaten Statistik (1990).

$X$$Y$$Z$$X \perp \! \! \perp Y \ | Z$

$X, Y$$Z$$X$$Y$$Z$

$X$$Y$

In Bezug auf das linke Diagramm ist es unklar, ohne mehr Kontext zu haben, aber ich denke, die Idee ist nur zu zeigen, wie das Diagramm der bedingten Unabhängigkeit aussehen würde, wenn wir keine Nullen in diesen Einträgen der inversen Kovarianzmatrix hätten.

$X, Y, Z$