Überprüfen, ob eine Dichte eine exponentielle Familie ist

Der Versuch zu beweisen, dass dies nicht zur exponentiellen Familie gehört.

$f(y|a)=4\frac{(y+a)}{(1+4a)} ; 0 < y < 1 , a>0$

Hier ist mein Ansatz:

f (y | a) = 4 (y + a) e^{- l o g (1 + 4 a)}

$f(y|a) = 4(y+a)e^{-log(1+4a)}$

f (y | a) = (4 y) (1 + \frac{a}{y}) e^{- l o g (1 + 4 a)}

$f(y|a) = (4y)(1+\frac{a}{y})e^{-log(1+4a)}$

Wenn man es mit der Standardform vergleicht, kann und die nur eine Funktion von , nicht als allein definiert werden, wie in ist untrennbar miteinander verbunden. Reicht dies aus, um zu zeigen, dass diese Verteilung nicht zur exponentiellen Familie gehört. $h(y) = 4y$ $g(a)$ $a$ $a$ $y$ $1+\frac{a}{y}$

Bitte überprüfen Sie meinen Ansatz.

self-study pdf exponential-family

— user30438
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Sie haben Ihren Finger auf den Kern der Sache gelegt, und das Ergebnis ist in der Tat ziemlich offensichtlich, aber die Logik scheint ein wenig falsch zu sein. Das nachstehend beschriebene Verfahren verwendet wiederholt Logarithmen und Differenzierung, um das Problem zunehmend einfacher zu machen, bis es völlig trivial wird.

Per Definition ist das PDF für eine Exponentialfamilie, wenn sein Logarithmus als Summe von etwas nur in Bezug auf den Parameter ( ), etwas anderes nur in Bezug auf die Daten ( ) und etwas anderes, das a ist, geschrieben werden kann Produkt einer Funktion von und einer Funktion von . Dies bedeutet, dass Sie alle Faktoren ignorieren können, die eindeutig nur vom Parameter oder nur von den Daten abhängen. In diesem Fall ist es offensichtlich, dass nur von abhängt , sodass wir es möglicherweise ignorieren. $f$ $a$ $y$ $a$ $y$ $\frac{4}{1+4a}$ $a$

Das Problem ist mit . Wir müssen beweisen, dass es keine "schönen" Funktionen und so dass plus eine Funktion von alleine plus eine andere Funktion von alleine. Dieser "Plus" -Teil ist ärgerlich, aber wir können ihn abtöten, indem wir zuerst in Bezug auf (die Ableitung einer Funktion von allein ist Null) und dann in Bezug auf (die Ableitung einer Funktion alleinigen Willens) differenzieren Null sein). Beim Negieren beider Seiten (um die linke Seite positiv zu machen) ergibt sich $y+a$ $\eta$ $T$ $\log(y+a) = \eta(a) T(y)$ $a$ $y$ $a$ $y$ $y$ $a$

- \frac{\partial^{2}}{\partial a \partial y} \log (y + a) = \frac{1}{(a + y)^{2}} = - η^{'} (a) T^{'} (y) .

$-\frac{\partial^2}{\partial a\partial y}\log(y+a) = \frac{1}{(a+y)^2} = -\eta'(a)T'(y).$

Ich möchte Logarithmen verwenden, um die rechte Seite zu vereinfachen (was, da es gleich der linken Seite ist, immer positiv ist). Unter der Annahme, dass und beide stetig sind, wird garantiert, dass es einige Intervalle von Werten für und für in denen entweder und oder sonst und . Dies bedeutet, dass wir die rechte Seite tatsächlich in zwei positive Faktoren aufteilen können, sodass der Logarithmus angewendet werden kann. Dies ergibt $\eta'$ $T'$ $a$ $y$ $-\eta'(a)\gt 0$ $T'(y)\gt 0$ $\eta'(a)\gt 0$ $-T'(y)\gt 0$

- 2 \log (a + y) = \log \frac{1}{(a + y)^{2}} = \log (- η^{'} (a) T^{'} (y)) = \log (- η^{'} (a)) + \log (T^{'} (y))

$-2\log(a+y) = \log\frac{1}{(a+y)^2} = \log\left(-\eta'(a)T'(y)\right) = \log(-\eta'(a)) + \log(T'(y))$

(oder ein vergleichbarer Ausdruck mit ein paar Minuszeichen). Jetzt spielen wir das gleiche Spiel: in jedem Fall beide Seiten in Bezug auf beide Differenzierung und Ausbeuten $a$ $y$

\frac{2}{(a + y)^{2}} = 0,

$\frac{2}{(a+y)^2} = 0,$

eine Unmöglichkeit.

Rückblickend musste dieser Ansatz davon ausgehen, dass sowohl als auch innerhalb einiger Intervalle ihrer Argumente zweite Ableitungen haben. Die Analyse kann nach dem gleichen Prinzip durchgeführt werden, wobei endliche Differenzen verwendet werden, um diese Annahmen zu schwächen, aber die Mühe lohnt sich wahrscheinlich nicht. $\eta$ $T$

— whuber
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Meine Notation ist die von Wikipedia, die auch eine Reihe von Regeln zur Identifizierung exponentieller Familien auflistet . . Die hier dargestellten Methoden können verwendet werden, um diese Regeln zu rechtfertigen.

— whuber

Schöne Analyse; Die Verwendung gemischter zweiter partieller Ableitungen erinnert ein wenig an Kriterien, um zu überprüfen, ob Funktionen "nomogrammierbar" sind, zumindest in bestimmten Formen (was auch eine ähnliche Trennung beinhaltet).

— Glen_b -State Monica

Danke @Glen_b. Es erinnert auch mehr als an die Analyse von Interaktionen in Zwei-Wege-Tabellen. Das ist die Finite-Differenzen-Version. ;-)

— whuber

Ja; Auch das ist eine Verbindung, die ich beim Spielen mit Nomogrammen ausgenutzt habe.

— Glen_b -State Monica

@whuber Danke für deine Erklärung. Es fällt mir jedoch schwer zu verstehen, warum wir partielle Ableitungen nehmen und erneut loggen. Gibt es eine Möglichkeit, dies zu lösen, indem eine Indikatorfunktion für y definiert wird, die immer von a abhängt.

— user30438

Es wird in einer exponentiellen Familie sein, wenn es in (mit anderen Bedingungen) geschrieben werden kann. $fh(x)e^{ηT(x)-A(η)}$

Sei . Nun für 4 beliebige Datenpunkte im Probenraum = , das frei von η ist. $g(x,η)=ηT(x)-A(η)$ $x_1,x_2,x_3,x_4$ $\frac{(g(x1,η)-g(x2,η))}{(g(x3,η)-g(x4,η))}$ $\frac{(T(x1)-T(x2))}{(T(x3) - T(x4))}$

Hier ist nun = . Nimm . $f(y;a)= 4\frac{y+a}{(4a+1)}$ $4 e^( ln(y+a)-ln(4a+1) )$ $g(x,η)=ln(y+a)-ln(4a+1)$

Also = - was nicht frei von a ist. so gehört nicht zu Exponentialfamilie. $\frac{(g(x1,η)-g(x2,η))}{(g(x3,η)-g(x4,η))}$ $\frac{(ln(y1+a)-ln(y2+a))}{(ln(y3+a)-ln(y4+a))}$ $f(y;a)$

— Mriganka Aulia
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+1 Ich mag den einfachen Ansatz. Es zeigt deutlich, wie endliche Differenzen verwendet werden können, um das Schlüsselverhalten von zu isolieren .

f

$f$

— whuber