Exponentiell gewichtete Bewegungsschiefe / Kurtosis

Es gibt bekannte Online-Formeln zur Berechnung von exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnitten und Standardabweichungen eines Prozesses . Für den Mittelwert,$(x_n)_{n=0,1,2,\dots}$

$\mu_n = (1-\alpha) \mu_{n-1} + \alpha x_n$

und für die Varianz

$\sigma_n^2 = (1-\alpha) \sigma_{n-1}^2 + \alpha(x_n - \mu_{n-1})(x_n - \mu_n)$

woraus Sie die Standardabweichung berechnen können.

Gibt es ähnliche Formeln für die Online-Berechnung exponentiell gewichteter dritter und vierter zentraler Momente? Meine Intuition ist, dass sie die Form annehmen sollten

$M_{3,n} = (1-\alpha) M_{3,n-1} + \alpha f(x_n,\mu_n,\mu_{n-1},S_n,S_{n-1})$

und

$M_{4,n} = (1-\alpha) M_{4,n-1} + \alpha f(x_n,\mu_n,\mu_{n-1},S_n,S_{n-1},M_{3,n},M_{3,n-1})$

Sie die Schiefe und die Kurtosis berechnen. Formausdruck für die Funktionen und . k n = M 4 , n / σ 4 n f $\gamma_n = M_{3,n} / \sigma_n^3$$k_n = M_{4,n}/\sigma_n^4$$f$$g$

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Bearbeiten: Einige weitere Informationen. Die Aktualisierungsformel für die Bewegungsvarianz ist ein Sonderfall der Formel für die exponentiell gewichtete Bewegungskovarianz, die über berechnet werden kann

$C_n(x,y) = (1-\alpha) C_{n-1}(x,y) + \alpha (x_n - \bar{x}_n) (y_n - \bar{y}_{n-1})$

Dabei sind und \ bar {y} _n die exponentiellen Bewegungsmittel von x und y . Die Asymmetrie zwischen x und y ist illusorisch und verschwindet, wenn Sie feststellen, dass y- \ bar {y} _n = (1- \ alpha) (y- \ bar {y} _ {n-1}) . ˉ y nx$\bar{x}_n$$\bar{y}_n$$x$$y$y y - ˉ y n = ( 1 - α ) ( y - ˉ y n - 1$x$$y$$y-\bar{y}_n = (1-\alpha) (y-\bar{y}_{n-1})$

Formeln wie diese können berechnet werden, indem das zentrale Moment als eine Erwartung , wobei die Gewichte in der Erwartung als exponentiell verstanden werden und die Tatsache verwendet wird, dass wir für jede Funktion habenf ( x $E_n(\cdot)$$f(x)$

$E_n(f(x)) = \alpha f(x_n) + (1-\alpha) E_{n-1}(f(x))$

Es ist einfach, die Aktualisierungsformeln für den Mittelwert und die Varianz unter Verwendung dieser Beziehung abzuleiten, aber es erweist sich für den dritten und vierten zentralen Moment als schwieriger.

Die Formeln sind einfach, aber nicht so einfach wie in der Frage angedeutet.

Sei die vorherige EWMA und sei , was unabhängig von . Per Definition ist der neue gewichtete Durchschnitt für einen konstanten Wert . Setzen Sie zur Vereinfachung der Darstellung . Let bezeichnen die CDF einer Zufallsvariablen und bezeichnen seine Moment erzeugende Funktion , so dassX = x n Y Z = α X + ( 1. - α ) Y α & bgr; = 1 - α F $Y$$X = x_n$$Y$$Z = \alpha X + (1 - \alpha)Y$$\alpha$$\beta = 1-\alpha$$F$$\phi$

$$\phi_X(t) = \mathbb{E}_F[\exp(t X)] = \int_\mathbb{R}{\exp(t x) dF_X(x)}.$$

Bei Kendall und Stuart bezeichne nichtzentrale Moment der Ordnung für die Zufallsvariable ; das heißt, . Die Schiefe und die Kurtosis sind ausgedrückt als für ; Beispielsweise ist die Schiefe definiert als wobeikZ$\mu_k^{'}(Z)$$k$$Z$$\mu_k^{'}(Z) = \mathbb{E}[Z^k]$k=1,2,3,4μ3/μ 3 / 2$\mu_k^{'}$$k = 1,2,3,4$$\mu_3 / \mu_2^{3/2}$

$$\mu_3 = \mu_3^{'} - 3 \mu_2^{'}\mu_1^{'} + 2{\mu_1^{'}}^3 \text{ and }\mu_2 = \mu_2^{'} - {\mu_1^{'}}^2$$

sind der dritte und der zweite zentrale Moment.

Standardmäßig elementare Ergebnisse,

$$\eqalign{ &1 + \mu_1^{'}(Z) t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(Z) t^2 + \frac{1}{3!} \mu_3^{'}(Z) t^3 + \frac{1}{4!} \mu_4^{'}(Z) t^4 +O(t^5) \cr &= \phi_Z(t) \cr &= \phi_{\alpha X}(t) \phi_{\beta Y}(t) \cr &= \phi_X(\alpha t) \phi_Y(\beta t) \cr &= (1 + \mu_1^{'}(X) \alpha t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(X) \alpha^2 t^2 + \cdots) (1 + \mu_1^{'}(Y) \beta t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(Y) \beta^2 t^2 + \cdots). }$$

Um die gewünschten Momente zu erhalten, multiplizieren Sie die letztere Potenzreihe mit der vierten Ordnung in und setzen Sie das Ergebnis mit den Termen in .ϕ Z ( t $t$$\phi_Z(t)$

Ich denke, dass die folgende Aktualisierungsformel für den dritten Moment funktioniert, obwohl ich froh wäre, wenn jemand sie überprüfen würde:

$M_{3,n} = (1-\alpha)M_{3,n-1} + \alpha \Big[ x_n(x_n-\mu_n)(x_n-2\mu_n) - x_n\mu_{n-1}(\mu_{n-1}-2\mu_n) - \dots$ $\dots - \mu_{n-1}(\mu_n-\mu_{n-1})^2 - 3(x_n-\mu_n) \sigma_{n-1}^2 \Big]$

Aktualisierungsformel für die Kurtosis noch offen ...