Quadratwurzel der Kovarianzmatrix positiv-definit machen (Matlab)

Motivation : Ich schreibe einen Zustandsschätzer in MATLAB (dem nicht parfümierten Kalman-Filter), der die Aktualisierung der (oberen Dreiecks-) Quadratwurzel einer Kovarianzmatrix bei jeder Iteration ( dh für eine Kovarianzmatrix P ) fordert ist es wahr, dass P = S S T ). Damit ich die erforderlichen Berechnungen durchführen kann, muss ich mithilfe der MATLAB- Funktion ein Cholesky-Update und -Downdate vom Rang 1 durchführen .$S$$P$$P=SS^{T}$cholupdate

Problem : Leider kann diese Matrix im Verlauf der Iterationen manchmal an positiver Bestimmtheit verlieren. Das Cholesky-Downdate schlägt bei Nicht-PD-Matrizen fehl.$S$

Meine Frage ist : Gibt es in MATLAB einfache und zuverlässige Möglichkeiten, positiv-definitiv zu machen ?$S$

( oder allgemeiner, gibt es eine gute Möglichkeit, eine bestimmte Kovarianz- Matrix positiv-definitiv zu machen?$X$ )

Anmerkungen :

• ist voller Rang$S$
• Ich habe den Eigendekompositionsansatz ausprobiert (der nicht funktioniert hat). Dies beinhaltete im Wesentlichen das Finden von , das Setzen aller negativen Elemente von V , D = 1 × 10 - 8 und das Rekonstruieren eines neuen S ' = V ' D ' V ' T, wobei V ' , D ' nur Matrizen mit sind positive Elemente.$S = VDV^{T}$$V,D = 1 \times 10^{-8}$$S' = V' D' V'^{T}$$V',D'$
• Ich kenne den Higham-Ansatz (der in R as implementiert ist nearpd), aber er scheint nur auf die nächste PSD-Matrix zu projizieren. Ich benötige eine PD-Matrix für das Cholesky-Update.

Hier ist Code, den ich in der Vergangenheit verwendet habe (unter Verwendung des SVD-Ansatzes). Ich weiß, dass du gesagt hast, du hast es bereits versucht, aber es hat immer bei mir funktioniert, also dachte ich, ich würde es posten, um zu sehen, ob es hilfreich ist.

function [sigma] = validateCovMatrix(sig)

% [sigma] = validateCovMatrix(sig)
%
% -- INPUT --
% sig:      sample covariance matrix
%
% -- OUTPUT --
% sigma:    positive-definite covariance matrix
%

EPS = 10^-6;
ZERO = 10^-10;

sigma = sig;
[r err] = cholcov(sigma, 0);

if (err ~= 0)
    % the covariance matrix is not positive definite!
    [v d] = eig(sigma);

    % set any of the eigenvalues that are <= 0 to some small positive value
    for n = 1:size(d,1)
        if (d(n, n) <= ZERO)
            d(n, n) = EPS;
        end
    end
    % recompose the covariance matrix, now it should be positive definite.
    sigma = v*d*v';

    [r err] = cholcov(sigma, 0);
    if (err ~= 0)
        disp('ERROR!');
    end
end

in Matlab:

help cholupdate

Ich bekomme

CHOLUPDATE Rank 1 update to Cholesky factorization.
    If R = CHOL(A) is the original Cholesky factorization of A, then
    R1 = CHOLUPDATE(R,X) returns the upper triangular Cholesky factor of A + X*X',
    where X is a column vector of appropriate length.  CHOLUPDATE uses only the
    diagonal and upper triangle of R.  The lower triangle of R is ignored.

    R1 = CHOLUPDATE(R,X,'+') is the same as R1 = CHOLUPDATE(R,X).

    R1 = CHOLUPDATE(R,X,'-') returns the Cholesky factor of A - X*X'.  An error
    message reports when R is not a valid Cholesky factor or when the downdated
    matrix is not positive definite and so does not have a Cholesky factorization.

    [R1,p] = CHOLUPDATE(R,X,'-') will not return an error message.  If p is 0
    then R1 is the Cholesky factor of A - X*X'.  If p is greater than 0, then
    R1 is the Cholesky factor of the original A.  If p is 1 then CHOLUPDATE failed
    because the downdated matrix is not positive definite.  If p is 2, CHOLUPDATE
    failed because the upper triangle of R was not a valid Cholesky factor.

    CHOLUPDATE works only for full matrices.

    See also chol.

Eine alternative Methode zur Berechnung der Cholesky-Faktorisierung besteht darin, die diagonalen Elemente von S auf 1 zu fixieren und dann eine diagonale Matrix D mit positiven Elementen einzuführen.

Dies vermeidet die Notwendigkeit, bei den Berechnungen Quadratwurzeln zu ziehen, was zu Problemen beim Umgang mit "kleinen" Zahlen führen kann (dh Zahlen, die klein genug sind, damit die Rundung aufgrund von Gleitkommaoperationen von Bedeutung ist). Auf der Wikipedia-Seite sehen Sie, wie dieser angepasste Algorithmus aussieht.

$P=SS^T$$P=RDR^T$$S=RD^{\frac{1}{2}}$

Hoffe das hilft!

Tatsächlich kann die Cholesky-Faktorisierung fehlschlagen, wenn Ihre Matrix nicht "wirklich" positiv ist. Es treten zwei Fälle auf, oder Sie haben einen negativen Eingen-Wert oder Ihr kleinster Eingen-Wert ist positiv, aber nahe Null. Der zweite Fall muss theoretisch eine Lösung geben, ist aber numerisch schwierig. Wenn Sie nur intuitiv sind, fügen Sie der Diagonale meiner Matrix eine kleine Konstante hinzu, um das Problem zu lösen. Dieser Weg ist jedoch nicht streng, da er die Lösung geringfügig verändert. Wenn Sie eine wirklich hochgenaue Lösung berechnen müssen, versuchen Sie es mit Untersuchungen zur modifizierten Cholesky-Faktorisierung.

Wenn Sie versuchen, mit P nicht positiv definitiv zu schätzen, fragen Sie nach Problemen und Chalenging-Algorithmen, sollten Sie diese Situation vermeiden. Wenn Ihr Problem numerisch ist: P ist positiv definit, aber der numerische Eigenwert ist zu klein - versuchen Sie eine neue Abwertung für Ihre Zustände. Wenn Ihr Problem tatsächlich nicht positiv definit ist - versuchen Sie es mit einem anderen Satz von Zustandsvariablen. Ich hoffe, der Rat kommt nicht zu spät. Grüße, Zeev