Ein einfacher Weg besteht darin, den Bereich der Integration zu rastern und eine diskrete Approximation an das Integral zu berechnen.
Es gibt einige Dinge zu beachten:
Stellen Sie sicher, dass Sie mehr als die Ausdehnung der Punkte abdecken: Sie müssen alle Stellen einschließen, an denen die Schätzung der Kerneldichte nennenswerte Werte aufweist. Dies bedeutet, dass Sie die Ausdehnung der Punkte um das Drei- bis Vierfache der Kernelbandbreite erweitern müssen (für einen Gaußschen Kernel).
Das Ergebnis hängt von der Auflösung des Rasters ab. Die Auflösung muss einen kleinen Bruchteil der Bandbreite ausmachen. Da die Berechnungszeit proportional zur Anzahl der Zellen im Raster ist, dauert es fast nicht länger, eine Reihe von Berechnungen mit einer gröberen Auflösung als der beabsichtigten durchzuführen: Überprüfen Sie, ob die Ergebnisse für die gröberen mit dem Ergebnis für das übereinstimmen feinste Auflösung. Ist dies nicht der Fall, ist möglicherweise eine feinere Auflösung erforderlich.
Hier ist eine Illustration für einen Datensatz von 256 Punkten:
Die Punkte werden als schwarze Punkte angezeigt, die zwei Kernel-Dichteschätzungen überlagert sind. Die sechs großen roten Punkte sind "Sonden", an denen der Algorithmus ausgewertet wird. Dies wurde für vier Bandbreiten (ein Standardwert zwischen 1,8 (vertikal) und 3 (horizontal), 1/2, 1 und 5 Einheiten) bei einer Auflösung von 1000 mal 1000 Zellen durchgeführt. Die folgende Streudiagramm-Matrix zeigt, wie stark die Ergebnisse von der Bandbreite dieser sechs Prüfpunkte abhängen, die einen weiten Bereich von Dichten abdecken:
Die Variation tritt aus zwei Gründen auf. Offensichtlich unterscheiden sich die Dichteschätzungen, was eine Form der Variation einführt. Noch wichtiger ist, dass die Unterschiede bei den Dichteschätzungen zu großen Unterschieden an jedem einzelnen Punkt ("Sondenpunkt") führen können. Die letztere Variation ist um die "Ränder" von Punkthaufen mittlerer Dichte am größten - genau an den Stellen, an denen diese Berechnung wahrscheinlich am häufigsten verwendet wird.
Dies zeigt, dass bei der Verwendung und Interpretation der Ergebnisse dieser Berechnungen große Vorsicht geboten ist, da sie für eine relativ willkürliche Entscheidung (die zu verwendende Bandbreite) so empfindlich sein können.
R-Code
Der Algorithmus ist in einem halben Dutzend Zeilen der ersten Funktion enthalten f. Zur Veranschaulichung der Verwendung werden im Rest des Codes die vorhergehenden Abbildungen generiert.
library(MASS) # kde2d
library(spatstat) # im class
f <- function(xy, n, x, y, ...) {
#
# Estimate the total where the density does not exceed that at (x,y).
#
# `xy` is a 2 by ... array of points.
# `n` specifies the numbers of rows and columns to use.
# `x` and `y` are coordinates of "probe" points.
# `...` is passed on to `kde2d`.
#
# Returns a list:
# image: a raster of the kernel density
# integral: the estimates at the probe points.
# density: the estimated densities at the probe points.
#
xy.kde <- kde2d(xy[1,], xy[2,], n=n, ...)
xy.im <- im(t(xy.kde$z), xcol=xy.kde$x, yrow=xy.kde$y) # Allows interpolation $
z <- interp.im(xy.im, x, y) # Densities at the probe points
c.0 <- sum(xy.kde$z) # Normalization factor $
i <- sapply(z, function(a) sum(xy.kde$z[xy.kde$z < a])) / c.0
return(list(image=xy.im, integral=i, density=z))
}
#
# Generate data.
#
n <- 256
set.seed(17)
xy <- matrix(c(rnorm(k <- ceiling(2*n * 0.8), mean=c(6,3), sd=c(3/2, 1)),
rnorm(2*n-k, mean=c(2,6), sd=1/2)), nrow=2)
#
# Example of using `f`.
#
y.probe <- 1:6
x.probe <- rep(6, length(y.probe))
lims <- c(min(xy[1,])-15, max(xy[1,])+15, min(xy[2,])-15, max(xy[2,]+15))
ex <- f(xy, 200, x.probe, y.probe, lim=lims)
ex$density; ex$integral
#
# Compare the effects of raster resolution and bandwidth.
#
res <- c(8, 40, 200, 1000)
system.time(
est.0 <- sapply(res,
function(i) f(xy, i, x.probe, y.probe, lims=lims)$integral))
est.0
system.time(
est.1 <- sapply(res,
function(i) f(xy, i, x.probe, y.probe, h=1, lims=lims)$integral))
est.1
system.time(
est.2 <- sapply(res,
function(i) f(xy, i, x.probe, y.probe, h=1/2, lims=lims)$integral))
est.2
system.time(
est.3 <- sapply(res,
function(i) f(xy, i, x.probe, y.probe, h=5, lims=lims)$integral))
est.3
results <- data.frame(Default=est.0[,4], Hp5=est.2[,4],
H1=est.1[,4], H5=est.3[,4])
#
# Compare the integrals at the highest resolution.
#
par(mfrow=c(1,1))
panel <- function(x, y, ...) {
points(x, y)
abline(c(0,1), col="Red")
}
pairs(results, lower.panel=panel)
#
# Display two of the density estimates, the data, and the probe points.
#
par(mfrow=c(1,2))
xy.im <- f(xy, 200, x.probe, y.probe, h=0.5)$image
plot(xy.im, main="Bandwidth=1/2", col=terrain.colors(256))
points(t(xy), pch=".", col="Black")
points(x.probe, y.probe, pch=19, col="Red", cex=.5)
xy.im <- f(xy, 200, x.probe, y.probe, h=5)$image
plot(xy.im, main="Bandwidth=5", col=terrain.colors(256))
points(t(xy), pch=".", col="Black")
points(x.probe, y.probe, pch=19, col="Red", cex=.5)
