Standardfehler von Steigungen bei stückweise linearer Regression mit bekannten Haltepunkten

Die Situation

Ich habe einen Datensatz mit einem abhängigen und einer unabhängigen Variablen x . Ich möchte eine kontinuierliche stückweise lineare Regression mit k bekannten / festen Haltepunkten anpassen, die bei ( a 1 , a 2 , … , a k ) auftreten . Die Breakpoins sind ohne Unsicherheit bekannt, daher möchte ich sie nicht schätzen. Dann passe ich eine Regression (OLS) der Form y i = β 0 + β 1 x i + β 2 max ( x i - a $y$$x$$k$$(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k})$ Hier ist ein Beispiel in

set.seed(123)
x <- c(1:10, 13:22)
y <- numeric(20)
y[1:10] <- 20:11 + rnorm(10, 0, 1.5)
y[11:20] <- seq(11, 15, len=10) + rnorm(10, 0, 2)

Nehmen wir an, dass der Haltepunkt bei 9,6 liegt :$k_1$$9.6$

mod <- lm(y~x+I(pmax(x-9.6, 0)))
summary(mod)

Coefficients:
                    Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)          21.7057     1.1726  18.511 1.06e-12 ***
x                    -1.1003     0.1788  -6.155 1.06e-05 ***
I(pmax(x - 9.6, 0))   1.3760     0.2688   5.120 8.54e-05 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Der Achsenabschnitt und die Steigung der beiden Segmente sind: und - 1,1 für das erste und 8,5 bzw. 0,27 für das zweite.$21.7$$-1.1$$8.5$$0.27$

Fragen

1. Wie kann man den Schnittpunkt und die Steigung jedes Segments einfach berechnen? Kann das Modell erneut repariert werden, um dies in einer Berechnung zu tun?
2. Wie berechnet man den Standardfehler jeder Steigung jedes Segments?
3. Wie kann man testen, ob zwei benachbarte Steigungen die gleichen Steigungen haben (dh ob der Haltepunkt weggelassen werden kann)?

1. Wie kann man den Schnittpunkt und die Steigung jedes Segments einfach berechnen?

$x=15$$-1.1003 + 1.3760 = 0.2757\,$.

Der Achsenabschnitt ist etwas schwieriger, aber es ist eine lineare Kombination von Koeffizienten (unter Einbeziehung der Knoten).

$x=9.6$$21.7057 -1.1003 \times 9.6 = 11.1428$$(9.6, 11.428)$$0.2757$$11.1428 - 0.2757 \times 9.6 = 8.496$$\beta_0 - \beta_2 k_1 = 21.7057 - 1.3760 \times 9.6$

Kann das Modell neu parametrisiert werden, um dies in einer Berechnung zu tun?

Ja, aber es ist wahrscheinlich im Allgemeinen einfacher, es einfach aus dem Modell zu berechnen.

2. Wie berechnet man den Standardfehler jeder Steigung jedes Segments?

$a^\top\hat\beta$$a$$a^\top\text{Var}(\hat\beta)a$

In Ihrem Beispiel ist der Standardfehler der Steigung des zweiten Segments:

Sb <- vcov(mod)[2:3,2:3]
sqrt(sum(Sb))

alternativ in Matrixform:

Sb <- vcov(mod)
a <- matrix(c(0,1,1),nr=3)
sqrt(t(a) %*% Sb %*% a)

3. Wie kann getestet werden, ob zwei benachbarte Steigungen die gleichen Steigungen haben (dh ob der Haltepunkt weggelassen werden kann)?

Dies wird anhand des Koeffizienten in der Tabelle dieses Segments getestet. Siehe diese Zeile:

I(pmax(x - 9.6, 0))   1.3760     0.2688   5.120 8.54e-05 ***

Das ist die Änderung der Steigung bei 9,6. Wenn sich diese Änderung von 0 unterscheidet, sind die beiden Steigungen nicht gleich. Der p-Wert für einen Test, dass das zweite Segment die gleiche Steigung wie das erste hat, befindet sich also genau am Ende dieser Linie.

Mein naiver Ansatz, der Frage 1 beantwortet:

mod2 <- lm(y~I((x<9.6)*x)+as.numeric((x<9.6))+
             I((x>=9.6)*x)+as.numeric((x>=9.6))-1)
summary(mod2)

#                        Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
# I((x < 9.6) * x)        -1.1040     0.2328  -4.743 0.000221 ***
# as.numeric((x < 9.6))   21.7188     1.3099  16.580 1.69e-11 ***
# I((x >= 9.6) * x)        0.2731     0.1560   1.751 0.099144 .  
# as.numeric((x >= 9.6))   8.5442     2.6790   3.189 0.005704 ** 

Ich bin mir jedoch nicht sicher, ob die Statistiken (insbesondere die Freiheitsgrade) korrekt erstellt wurden, wenn Sie dies auf diese Weise tun.