Schwanzgrenzen der euklidischen Norm für eine gleichmäßige Verteilung auf

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Was sind bekannte Obergrenzen dafür, wie oft die euklidische Norm eines einheitlich gewählten Elements von wird größer als ein gegebener Schwellenwert sein? $\:\{-n,~-(n-1),~...,~n-1,~n\}^d\:$

Ich interessiere mich hauptsächlich für Grenzen, die exponentiell gegen Null konvergieren, wenn viel kleiner als . $n$ $d$

uniform extreme-value bounds

— Ricky Demer
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Dies ist leicht zu beantworten für Schwellenwerte

t \leq n

$t\le n$ berechnen nur Volumina von Hypersphären - aber schwieriger für

berechnen

t > n

$t \gt n$ . Befindest du dich in einer dieser Situationen?

— whuber

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Ich würde brauchen

t > n

$\: t > n \;\;$ .

$\;\;\;\;$

— Ricky Demer

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Ich habe momentan keine Zeit, eine detaillierte Antwort zu veröffentlichen, aber hier ist in der Zwischenzeit ein Hinweis: Vergleichen Sie

\sum_{k} (X_{k} / n)^{2}

$\sum_k (X_k/n)^2$ mit einer binomialen Zufallsvariablen mit demselben Mittelwert unter Verwendung der Standard-Chernoff-gebundenen Technik. Dies ergibt eine Grenze der Form

a^{d} e^{- b t^{2}}

$a^d e^{-b t^2}$ für geeignetes

a

$a$ und

b

$b$ vorausgesetzt

t > n \sqrt{d (n + 1) / 3 n}

$t > n \sqrt{d (n+1)/3n}$ , was sinnvoll ist, wenn Sie über den Mittelwert der quadratischen euklidischen Entfernung nachdenken. Hoffe das hilft einigen.

— Kardinal

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Intuitiv sollte es offensichtlich sein, dass ein Punkt, dessen Koordinaten zufällig aus der Gleichverteilung abgetastet werden, aufgrund des Fluches der Dimensionalität einen kleinen Modul haben sollte. Wenn $d$ zunimmt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig aus dem Volumen der $d$ dimensionalen Einheitskugel abgetasteter Punkt einen Abstand von weniger als oder gleich $\epsilon$ von der Mitte hat, $\epsilon^{d}$ , der exponentiell schnell abfällt.

Ich werde die Vollversion von Kardinals Lösung geben.

Sei eine unabhängige Kopie einer diskreten, gleichmäßigen Verteilung über die ganzen Zahlen . Es ist klar, dass , und es ist leicht zu berechnen, dass $X_i$ $-n \leqslant k \leqslant n$ $\mathbb{E}[X] = 0$ $\text{Var}(X_i) = \frac{n(n+1)}{3}$

Man erinnere sich, dass und dass $\mathbb{E}[X_i^2] = \text{Var}(X_i) + \mathbb{E}[X_i]^2$ $\text{Var}(X_i^2) = \mathbb{E}[X_i^4] - \mathbb{E}[X_i^2]^2$

Somit ist $\mathbb{E}[X_i^2] = \text{Var}(X_i) = \frac{n(n+1)}{3}$

$\text{Var}(X_i^2) = \mathbb{E}[X_i^4] - \mathbb{E}[X_i^2]^2 = \frac{n(n+1)(3n^2 + 3n + 1)}{15} - \left( \frac{n(n+1)}{3} \right)^2$

Berechnung $\mathbb{E}[X_i^4]$

Sei $Y_i = X_i^2$

\sum_{i = 1}^{d} Y_{i} = (Distance of Randomly Sampled Point to Origin)^{2}

$\sum_{i=1}^d Y_i = (\text{Distance of Randomly Sampled Point to Origin})^2$

Ich werde das morgen beenden, aber Sie können sehen, dass diese Variable einen Mittelwert von ungefähr , während weniger alsBruchteil von Punkten Abstände haben, die weniger als die Hälfte des maximalen Abstandes $\frac{n^2}{3}$ $2^{-d}$ $\frac{dn^2}{2}$

— Michael K.
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Wenn alle unabhängig diskrete Uniformen folgen über , dann gibt es Werte zur Auswahl und deren Mittelwert 0 ist , haben wir für alle : $X_i$ $[-n, n]$ $2n+1$ $i$

und $\mathbb{E}(X_i)= 0$

$\mathbb{V}(X_i)= \mathbb{E}\left((X_i - \mathbb{E}(X_i))^2\right)= \mathbb{E}(X_i^2)= \frac{(2n+1)^2 - 1}{12}= \frac{n(n+1)}{3}$

Then if $S$ is the squared euclidean norm of vector $(X_1, X_2, ... X_d)$ , and because of the independence of the $X_i$ :

$S= \sum_{i=1}^d X_i^2$

$\mathbb{E}(S)= \sum_{i=1}^d \mathbb{E}(X_i^2) = d \frac{n(n+1)}{3}$

$\forall a >0, \mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{1}{a}\mathbb{E}(S)$

$\mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{d}{a}\frac{n(n+1)}{3}$

This bound rises with $d$ , which is normal because when $d$ gets larger the euclidean norm gets larger when compared to a fixed threshold $a$ .

Now if you define $S^*$ as a "normalized" squared norm (that has the same expected value no matter how big $d$ ) you get:

$S^*= \frac{1}{d} Y = \frac{1}{d} \sum_{i=1}^d X_i^2$

$\mathbb{E}(S^*) = \frac{n(n+1)}{3}$

$\mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{n(n+1)}{3a}$

At least this bound doesn't rise with $d$ , but it still far from solves your quest for an exponentially decreasing bound! I wonder if this can be due to the weakness of the Markov inequality...

I think you should precise your question, because as stated above the mean euclidean norm of your vectors linearly rises in $d$ , so you are very unlikely to find an upper bound for $\mathbb{P}(S > a)$ that is decreasing in $d$ with a fixed threshold $a$ .

— jubo
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