Nullhypothese der Äquivalenz

Angenommen, $X_1, X_2, \, ... \, , X_n$ sind eine einfache Zufallsstichprobe aus einer Normalverteilung$(\mu,\sigma^2)$ .

Ich bin an folgendem Hypothesentest interessiert:

$$H_0: | \mu| \le c \\ H_1: |\mu| > c,$$ für eine bestimmte Konstante$c > 0$ .

Ich dachte daran, zwei einseitige $t$ Tests (TOST) analog zur üblichen Bioäquivalenztestsituation durchzuführen, in der null und $|\mu| \ge c$ stattdessen, aber ich weiß nicht, ob dies sinnvoll oder richtig ist.

Meine Idee ist es, die einseitigen Tests H 01 durchzuführen : μ ≤ c

$$H_{01} : \mu \le c \\ H_{11} : \mu > c$$ und $$H_{02} : \mu \ge -c \\ H_{12} : \mu < -c,$$ und lehnt die globale Nullhypothesewenn eine der$p$ - Werte kleiner als ein Signifikanzniveau$\alpha$ .

Danke im Voraus!

BEARBEITEN:

Ich habe eine Weile darüber nachgedacht, und ich denke, der von mir vorgeschlagene Ansatz hat kein Signifikanzniveau $\alpha$ .

Angenommen, der wahre Wert von $\mu$ ist $\mu_0$ und $\sigma^2$ ist bekannt.

Die Wahrscheinlichkeit, die Null im ersten Test abzulehnen, beträgt wobeiΦ ist,wenn das Standard-cdf der Normalverteilung undz1-αein Wert ist, so dassΦ(z1-α)=1-α ist.

$$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) = 1 - \Phi \left(z_{1-\alpha} + \frac{c-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \right),$$ $\Phi$$z_{1-\alpha}$$\Phi(z_{1-\alpha}) = 1-\alpha$

Wenn , ist P μ 0 ( R e j . H 01 ) = α . Wenn dann μ 0 > c ist , ist P μ 0 ( R e j . H 01 ) > α . Wenn alternativ μ 0 < c ist , ist P μ 0 ( R e j . H 01 ) < α .$\mu_0 = c$$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) = \alpha$$\mu_0 > c$$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) > \alpha$$\mu_0 < c$$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) <\alpha$

Die Wahrscheinlichkeit, die Null im zweiten Test abzulehnen, beträgt

$$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) = \Phi \left(- z_{1-\alpha} - \frac{\mu_0 + c}{\sigma/\sqrt{n}} \right).$$

Wiederum, wenn , haben wir P μ 0 ( R e j . H 02 ) = α . In ähnlicher Weise ist, wenn μ 0 > - c , P μ 0 ( R e j . H 02 ) < α . Wenn schließlich μ 0 < - c ist , ist P μ 0 ( R e j . H $\mu_0 = -c$$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) = \alpha$$\mu_0 > -c$$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) < \alpha$$\mu_0 < -c$ .$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) > \alpha$

Da die Zurückweisungsbereiche der beiden Tests disjunkt sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit der Zurückweisung von : P μ 0 ( R e j . H 0 ) = 1 - Φ ( z 1 - α + c - μ $H_0$

$$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_0) = 1 - \Phi \left(z_{1-\alpha} + \frac{c-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \right) + \Phi \left(- z_{1-\alpha} - \frac{\mu_0 + c}{\sigma/\sqrt{n}} \right)$$

Wenn also , ist 2 α eine Obergrenze der Wahrscheinlichkeit, die (globale) Nullhypothese abzulehnen. Daher war der von mir vorgeschlagene Ansatz zu liberal.$\mu \in [-c,c]$$2\alpha$

Wenn ich mich nicht irre, können wir ein Signifikanzniveau von indem wir dieselben zwei Tests durchführen und die Null ablehnen, wenn der p- Wert eines von ihnen kleiner als α / 2 ist . Ein ähnliches Argument gilt, wenn die Varianz unbekannt ist und wir den t- Test anwenden müssen .$\alpha$$p$$\alpha/2$$t$

Sehr interessante Frage !!

Sie verwenden die logische Konsequenz, dh die Folgebedingung. Diese Folgebedingung bildet die Grundlage der klassischen Logik und garantiert den Rückschluss oder die Ableitung eines Ergebnisses aus einer Prämisse.

Die Gründe für Ihren Vorschlag lauten wie folgt:

Wenn bedeutet H ' 0 , dann sollten die beobachteten Daten mehr Beweise gegen ziehen H 0 als H ' 0 .$H_0$$H_0'$$H_0$$H_0'$

In Bezug auf Ihre Hilfshypothesen und H 02 haben wir H 0 ≡ H 01 ∧ H 02 , dh H 0 bedeutet H 01 und auch H 0 bedeutet H 02 . Entsprechend der Entailment-Bedingung sollten wir daher mehr Beweise gegen H 0 als entweder H 01 oder H 02 beobachten . Dann kamen Sie zu dem Schluss, dass einer der unter H 01 oder H 02 berechneten p-Werte$H_{01}$$H_{02}$$H_{0} \equiv H_{01} \wedge H_{02}$$H_{0}$$H_{01}$$H_{0}$$H_{02}$$H_{0}$$H_{01}$$H_{02}$$H_{01}$$H_{02}$ausreichend klein ist, ist der unter berechnete p-Wert noch kleiner.$H_0$

Diese logische Argumentation gilt jedoch nicht für p-Werte, dh p-Werte berücksichtigen nicht die logische Konsequenz. Jeder p-Wert wird unter einer bestimmten Nullhypothese erstellt, daher werden p-Werte für verschiedene Nullhypothesen unter verschiedenen Metriken berechnet. Aus diesem Grund können p-Werte die logische Argumentation über den Parameterraum (oder den Raum der Nullhypothesen) nicht berücksichtigen.

Beispiele, bei denen p-Werte die Entailment-Bedingung verletzen, werden in Schervish (1996) und Patriota (2013) vorgestellt. Das letztere Papier zeigt Beispiele aus einer bivariaten Normalverteilung und aus einem Regressionsmodell (siehe Beispiele 1.1 und 1.2 auf den Seiten 5 bzw. 6). Eran Raviv stellt einen Algorithmus im R-Code für den bivariaten Fall bereit. Aus diesen Beispielen lernen Sie: Sie müssen den p-Wert direkt für die interessierende Nullhypothese berechnen. Schervish (1996) liefert eine p-Wert-Formel für Ihr Beispiel, wenn und σ 2 = 1 , siehe Formel (2) auf Seite 204. Wenn Sie einen p-Wert berechnen möchten, müssen Sie diese Formel für Ihren Fall anpassen .$n=1$$\sigma^2 = 1$

Patriota (2013) schlägt ein neues Beweismaß vor, um allgemeine Nullhypothesen (zusammengesetzte oder einfache Nullhypothesen) zu testen, die die logische Konsequenz berücksichtigen. Dieses Maß wird im Papier als S-Wert bezeichnet. Das Verfahren ist für Ihr Beispiel relativ einfach:

1. Finden Sie ein (1- ) -Konfidenzintervall für μ (ein asymptotisches): I ( μ , α ) = [ ˉ x - z α / 2 $\alpha$$\mu$, wobeiˉxder Stichprobenmittelwert ist,s2die Stichprobenvarianz ist,zα/2dasα/2-Quantil einer Standardnormalverteilung ist undndie Stichprobengröße ist.$I(\mu, \alpha) = \bigg[\bar{x} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^2}{n}} \ ; \ \bar{x} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^2}{n}}\bigg]$$\bar{x}$$s^2$$z_{{\alpha}/{2}}$${\alpha}/{2}$$n$

2. Finden Sie den Wert für den die Amplitude von I ( μ , α ∗ ) minimal ist und mindestens ein Element mit { - c , c } gemeinsam hat (dh die Grenze von [ - c , c ] ). Dieses α ∗ ist der s- Wert.$\alpha^*$$I(\mu, \alpha^*)$$\{-c, c\}$$[-c,c]$$\alpha^*$$s$

3. Wenn ist, bestätigt die beobachtete Probe einerseits die Nullhypothese H 0 : | μ | ≤ c ; Wenn der s- Wert klein genug ist, können Sie die Null akzeptieren. Auf der anderen Seite, wenn ˉ x ∉ [ - c , c ] , dann ist die beobachtete Probe wird die Information gegen das Null - Hypothese H 0 ; wenn die $\bar{x} \in [-c,c]$$H_0: |\mu|\leq c$$s$$\bar{x} \not \in [-c,c]$$H_0$$s$-Wert ist klein genug, dann können Sie die Null ablehnen. Andernfalls sollten Sie die Null nicht ablehnen oder akzeptieren.

Beachten Sie, dass, wenn und der jeweilige s- Wert extrem klein sind, dies bedeutet, dass die alternative Hypothese extrem weit vom maximal plausiblen Wert ˉ x entfernt ist . Wenn ˉ x ∉ [ - c , c ] und der jeweilige s- Wert extrem klein ist, bedeutet dies, dass die Nullhypothese extrem weit vom maximal plausiblen Wert ˉ $\bar{x}\in [-c,c]$$s$$\bar{x}$$\bar{x}\not \in [-c,c]$$s$$\bar{x}$. Versuchen Sie, ein Bild zu zeichnen, das das Konfidenzintervall und die interessierende Nullhypothese darstellt, um die Schlussfolgerungen besser zu verstehen. Weitere Informationen finden Sie in der Originalarbeit Patriota (2013).

Es ist immer noch ein offenes Problem , objektive Schwellenwerte für das Akzeptieren oder Ablehnen der Null mithilfe dieses Werts zu finden . Dieser Ansatz ist schön, weil wir jetzt eine Nullhypothese akzeptieren können. Dies ist immer dann sinnvoll, wenn die beobachtete Probe mit der Null übereinstimmt und weit von der Alternative entfernt ist. In Ihrem Beispiel ist dies für c = 1000 , ˉ x = 1 , s 2 = 1 und n = 10000 zu sehen . Es ist recht einfach zu erkennen, dass sich die Datendichte extrem auf [ 0.9 , 1.1 $s$$c = 1000$$\bar{x} = 1$$s^2 = 1$$n=10000$$[0.9, \ 1.1]$(zehnmal der Standardfehler). Um einen nicht leeren Schnittpunkt mit haben, sind 99900 Standardfehler erforderlich. Daher wäre es fair genug, H 0 : | zu akzeptieren μ | ≤ c in diesem Fall.$[-1000, \ 1000]$$H_0: |\mu| \leq c$

Verweise:

Patriota, AG (2013). Ein klassisches Beweismaß für allgemeine Nullhypothesen, Fuzzy Sets and Systems, 233, 74–88

Schervish, MJ (1996). P-Werte: Was sie sind und was nicht, The American Statistician, 50, 203–206.