Warum ist die Wahrscheinlichkeit Null für einen bestimmten Wert einer Normalverteilung?

Mir ist aufgefallen, dass in der Normalverteilung die Wahrscheinlichkeit gleich Null ist, während sie in der Poisson-Verteilung ungleich Null ist, wenn eine nicht negative ganze Zahl ist. $P(x=c)$ $c$

Meine Frage ist: Ist die Wahrscheinlichkeit einer Konstanten in der Normalverteilung gleich Null, weil sie die Fläche unter einer Kurve darstellt? Oder ist es nur eine Regel, sich zu merken?

probability normal-distribution poisson-distribution

— Psycho 4 Physik
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kontinuierliche Verteilung vs diskrete

— Glen_b -Reinstate Monica

Sehr eng verwandt (etwas andere Frage, im Wesentlichen die gleiche Antwort): stats.stackexchange.com/questions/4220 .

— Whuber

Nichts Wissenswertes ist immer nur eine "Regel zum Auswendiglernen".

— Matthew Drury

Vielleicht hilft Ihnen das folgende Gedankenexperiment, besser zu verstehen, warum die Wahrscheinlichkeit in einer stetigen Verteilung Null ist : Stellen Sie sich vor, Sie haben ein Glücksrad . Normalerweise ist das Rad in mehrere diskrete Sektoren unterteilt, vielleicht 20 oder so. Wenn alle Sektoren die gleiche Fläche haben, würden Sie mit einer Wahrscheinlichkeit von einen bestimmten Sektor treffen (z. B. den Hauptpreis). Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist 1, weil . Allgemeiner: Wenn Sektoren gleichmäßig auf dem Rad verteilt sind, hat jeder Sektor eine Wahrscheinlichkeit von $Pr(X=a)$ $1/20$ $20\cdot 1/20 = 1$ $m$ $1/m$ getroffen zu werden (einheitliche Wahrscheinlichkeiten). Aber was passiert, wenn wir uns dazu entschließen, das Rad in eine Million Sektoren zu unterteilen? Jetzt ist die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Sektor (den Hauptpreis) zu treffen, extrem gering: . Ferner ist zu beachten, dass der Zeiger theoretisch an einer unendlichen Anzahl von Positionen des Rads anhalten kann. Wenn wir für jeden möglichen Haltepunkt einen eigenen Preis vergeben möchten, müssten wir das Rad in eine unendliche Anzahl von "Sektoren" gleicher Fläche unterteilen (wobei jeder von ihnen eine Fläche von 0 haben würde). Aber welche Wahrscheinlichkeit sollten wir jedem dieser "Sektoren" zuordnen? Es muss Null sein $1/10^{6}$ denn wenn die Wahrscheinlichkeiten für jeden "Sektor" positiv und gleich wären, divergiert die Summe unendlich vieler gleicher positiver Zahlen, was zu einem Widerspruch führt (die Gesamtwahrscheinlichkeit muss 1 sein). Deshalb können wir einem Intervall , einem realen Bereich auf dem Rad, nur eine Wahrscheinlichkeit zuweisen .

Technischer: In einer stetigen Verteilung (z. B. stetig gleichmäßig , normal und andere ) wird die Wahrscheinlichkeit durch Integration als Fläche unter der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (mit ) berechnet : Aber die Fläche eines Intervalls der Länge 0 ist 0. $f(x)$ $a\leq b$

P (a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f (x) d x

$P(a\leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) dx$

In diesem Dokument finden Sie die Analogie zum Glücksrad.

Die Poisson-Verteilung ist dagegen eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Eine zufällige Poisson-Variable kann nur diskrete Werte annehmen (dh die Anzahl der Kinder einer Familie darf nicht 1,25 betragen). Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Familie genau 1 Kind hat, ist sicherlich nicht Null, sondern positiv. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten für alle Werte muss 1 sein. Andere bekannte diskrete Verteilungen sind: Binomial , negatives Binomial , geometrisch , hypergeometrisch und viele andere .

— COOLSerdash
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Dieses Argument schlägt an einem entscheidenden Punkt fehl: Es ist nicht immer der Fall, dass "die Summe einer unendlichen Anzahl positiver Zahlen unendlich ist". Die Reihenfolge der Poisson-Wahrscheinlichkeiten ist ein Gegenbeispiel! Sie können dies durch eine geeignete Qualifikation beheben, indem Sie beispielsweise darauf hinweisen, dass die Summe unendlich vieler positiver Zahlen, egal wie klein sie auch sein mögen, divergiert.

— whuber

@whuber Ich denke, das habe ich damals gemeint, als ich die Antwort geschrieben habe, aber nicht richtig formuliert. Danke für die Warnung. Ich hoffe es ist jetzt richtig.

— COOLSerdash

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@whuber Jetzt bin ich verwirrt. Das ist genau die Formulierung, die Sie in Ihrem ersten Kommentar vorgeschlagen haben: "[...] zum Beispiel, dass die Summe unendlich vieler positiver Zahlen, egal wie klein sie auch sein mögen, divergiert"

— COOLSerdash

@whuber Richtig, jetzt ist es völlig klar. Ich habe die Qualifikation zu meiner Antwort hinzugefügt. Nochmals vielen Dank für den Hinweis.

— COOLSerdash

"Wahrscheinlichkeiten kontinuierlicher Zufallsvariablen (X) sind als der Bereich unter der Kurve der PDF definiert. Daher können nur Wertebereiche eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null aufweisen. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine kontinuierliche Zufallsvariable einem Wert entspricht, ist immer Null." Referenzseite: http://support.minitab.com/en-us/minitab-express/1/help-and-how-to/basic-statistics/probability-distributions/supporting-topics/basics/continuous-and-discrete -Wahrscheinlichkeitsverteilungen/

— Rui HUANG
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